(a)的block matrix表达拆散成常规表达

首先，为了不使用任何向量符号，我们需要定义 $f_1$ 和 $f_2$ 里的具体元素。 假设数据有 $n$ 个样本（rows）。

令 $f_1$ 的元素为 $u_1, u_2, \dots, u_n$。 令 $f_2$ 的元素为 $v_1, v_2, \dots, v_n$。

题目已知条件：

  1. Centered（中心化）: $\sum_{i=1}^n u_i = 0$, $\sum_{i=1}^n v_i = 0$。这意味着我们在计算协方差时不需要减去均值 $\bar{x}$。
  2. Unit Variance（单位方差）: $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n u_i^2 = 1$, $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n v_i^2 = 1$。
  3. Uncorrelated（不相关）: $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n u_i v_i = 0$。

1. 展开矩阵 $X$ 和 $Y$

根据定义，$X$ 是把 $f_1$ 和 $f_2$ 作为列，$Y$ 只有 $f_1$ 这一列。

$$ X = \begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ \vdots & \vdots \\ u_n & v_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 2}, \quad Y = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 1} $$

2. 计算 $S_X$ (Sample Covariance Matrix of $X$)

样本协方差矩阵的定义公式是 $S_X = \frac{1}{n-1} X^T X$（因为已经中心化）。 我们先写出 $X^T$（转置矩阵）：

$$ X^T = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \\ v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times n} $$

现在进行矩阵乘法 $X^T X$。这是一个 $(2 \times n)$ 乘以 $(n \times 2)$ 的矩阵，结果是一个 $(2 \times 2)$ 的矩阵。

$$ \begin{aligned} X^T X &= \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \\ v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ \vdots & \vdots \\ u_n & v_n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (u_1 u_1 + u_2 u_2 + \dots + u_n u_n) & (u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n) \\ (v_1 u_1 + v_2 u_2 + \dots + v_n u_n) & (v_1 v_1 + v_2 v_2 + \dots + v_n v_n) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n u_i^2 & \sum_{i=1}^n u_i v_i \\ \sum_{i=1}^n v_i u_i & \sum_{i=1}^n v_i^2 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

现在我们要得到 $S_X$，也就是把上面的结果除以 $n-1$：

$$ S_X = \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} \sum u_i^2 & \sum u_i v_i \\ \sum v_i u_i & \sum v_i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n-1}\sum u_i^2 & \frac{1}{n-1}\sum u_i v_i \\ \frac{1}{n-1}\sum v_i u_i & \frac{1}{n-1}\sum v_i^2 \end{pmatrix} $$

代入题目给出的已知数值（方差为1，协方差为0）：

$$ S_X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 $$

3. 计算 $S_Y$ (Sample Covariance Matrix of $Y$)

同样，公式是 $S_Y = \frac{1}{n-1} Y^T Y$。

$$ Y^T = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \end{pmatrix} $$$$ \begin{aligned} Y^T Y &= \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \\ &= (u_1 u_1 + u_2 u_2 + \dots + u_n u_n) \\ &= \sum_{i=1}^n u_i^2 \end{aligned} $$

所以：

$$ S_Y = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n u_i^2 = 1 $$

4. 计算 $S_{XY}$ (Cross-Covariance Matrix)

这就是你图片里最后一部分的关键。公式是 $S_{XY} = \frac{1}{n-1} X^T Y$。 $X^T$ 是 $(2 \times n)$，$Y$ 是 $(n \times 1)$，结果应该是 $(2 \times 1)$ 的矩阵。

$$ \begin{aligned} X^T Y &= \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \\ v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (u_1 u_1 + u_2 u_2 + \dots + u_n u_n) \\ (v_1 u_1 + v_2 u_2 + \dots + v_n u_n) \end{pmatrix} \quad \leftarrow \text{注意这里是矩阵乘法：行乘列} \\ &= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n u_i^2 \\ \sum_{i=1}^n v_i u_i \end{pmatrix} \end{aligned} $$

现在除以 $n-1$ 得到 $S_{XY}$：

$$ S_{XY} = \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} \sum u_i^2 \\ \sum v_i u_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n-1}\sum u_i^2 \\ \frac{1}{n-1}\sum v_i u_i \end{pmatrix} $$

代入已知数值：

  • 第一行是 $f_1$ 的方差 $\rightarrow 1$
  • 第二行是 $f_2$ 和 $f_1$ 的协方差 $\rightarrow 0$
$$ S_{XY} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

这样写应该非常清楚了：$S_{XY}$ 本质上就是计算 $X$ 的每一列（$f_1, f_2$）与 $Y$ 的那一列（$f_1$）的点积。

  • $f_1$ 与 $f_1$ 的点积（归一化后）是 1。
  • $f_2$ 与 $f_1$ 的点积（归一化后）是 0。

缩写和非缩写矩阵形式相互的对应关系

其实，分块矩阵的运算规则和普通数字（Scalar）的运算规则是一模一样的。唯一的区别是：以前你处理的是“数乘数”，现在你处理的是“向量乘向量”（点积）。

为了让你理解这种“缩略”是如何映射到刚才的“完整表达”的，我们需要建立一个**“翻译字典”**。

1. 核心概念：把一列看作一个整体

在刚才的“详细版”里，我们把 $f_1$ 拆成了 $u_1, \dots, u_n$。 在“缩略版（Block）”里，我们把 $f_1$ 这一整列看作一个列向量 (Column Vector)，记作 $\mathbf{f}_1$。

翻译字典：

Block NotationScalar Notation含义
$\mathbf{f}_1$$\begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}$列向量 (Feature 1所有样本)
$\mathbf{f}_1^T$$\begin{pmatrix} u_1 & \dots & u_n \end{pmatrix}$行向量
$\mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_1$$\sum_{i=1}^n u_i^2$元素平方和
$\mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_2$$\sum_{i=1}^n u_i v_i$所有对应元素相乘后总和

2. 实战演练：如何转换 $S_{XY}$

让我们看看 $S_{XY}$ 是怎么从“缩略版”变成“详细版”的。

第一步：写出 Block 形式

$$ X = \begin{pmatrix} | & | \\ \mathbf{f}_1 & \mathbf{f}_2 \\ | & | \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} | \\ \mathbf{f}_1 \\ | \end{pmatrix} $$

这里 $\mathbf{f}_1$ 代表那一长串数字。

第二步：写出转置 (Transpose)

当我们需要 $X^T$ 时，原来的列变成了行：

$$ X^T = \begin{pmatrix} - \mathbf{f}_1^T - \\ - \mathbf{f}_2^T - \end{pmatrix} $$

(注意： $\mathbf{f}_1$ 是竖着的，$\mathbf{f}_1^T$ 是横着的)

第三步：矩阵乘法 (Block Multiplication)

现在做 $X^T Y$。规则依然是：左矩阵的行 $\times$ 右矩阵的列。

$$ \begin{aligned} X^T Y &= \underbrace{\begin{pmatrix} \mathbf{f}_1^T \\ \mathbf{f}_2^T \end{pmatrix}}_{X^T} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \mathbf{f}_1 \end{pmatrix}}_{Y} \\ &= \begin{pmatrix} \text{Row 1} \times \text{Col 1} \\ \text{Row 2} \times \text{Col 1} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_1 \\ \mathbf{f}_2^T \mathbf{f}_1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

这里就是“缩略表达”的终点。

第四步：翻译回“详细版”

现在用上面的字典把 $\mathbf{f}_i^T \mathbf{f}_j$ 翻译成求和符号：

  1. 第一行 $\mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_1$: 这是一个行向量乘列向量 $\rightarrow$ 也就是点积 $\rightarrow$ 也就是 $\sum u_i^2$。
  2. 第二行 $\mathbf{f}_2^T \mathbf{f}_1$: 这也是点积 $\rightarrow$ 也就是 $\sum v_i u_i$。

所以：

$$ S_{XY} = \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} \mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_1 \\ \mathbf{f}_2^T \mathbf{f}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n-1}\sum u_i^2 \\ \frac{1}{n-1}\sum v_i u_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Var(f_1) \\ Cov(f_2, f_1) \end{pmatrix} $$

3. 再看一眼 $S_X$ (它是怎么变成 2x2 的)

同样的逻辑：

$$ \begin{aligned} X^T X &= \begin{pmatrix} \mathbf{f}_1^T \\ \mathbf{f}_2^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{f}_1 & \mathbf{f}_2 \end{pmatrix} \\ \end{aligned} $$

运用矩阵乘法规则（行乘列）：

  • 左上 (Row 1 $\times$ Col 1): $\mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_1$
  • 右上 (Row 1 $\times$ Col 2): $\mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_2$
  • 左下 (Row 2 $\times$ Col 1): $\mathbf{f}_2^T \mathbf{f}_1$
  • 右下 (Row 2 $\times$ Col 2): $\mathbf{f}_2^T \mathbf{f}_2$

结果就是：

$$ X^T X = \begin{pmatrix} \mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_1 & \mathbf{f}_1^T \mathbf{f}_2 \\ \mathbf{f}_2^T \mathbf{f}_1 & \mathbf{f}_2^T \mathbf{f}_2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{翻译}} \begin{pmatrix} \sum u_i^2 & \sum u_i v_i \\ \sum v_i u_i & \sum v_i^2 \end{pmatrix} $$

总结

之所以使用这种缩略写法，是因为它帮我们把 $n$ 个样本的求和符号 $\sum$ 隐藏在了向量的点积（$\mathbf{f}^T \mathbf{f}$）里。

  • 详细版：适合理解每一个数字是怎么算出来的。
  • 缩略版：适合推导公式，不用写几百个 $\sum$ 和 $u_i, v_i$。

在Q4(a)的语境中

Alex，我完全明白你的困惑点在哪里了。

你之所以觉得 $S_X$ “不该是 2x2” 或者疑惑 $S_Y$ “是不是真的是标量”，是因为你在潜意识里可能把它和 Kernel Matrix ($n \times n$) 或者 原始数据矩阵 ($n \times 2$) 搞混了。

请记住：CCA (Canonical Correlation Analysis) 分析的是“特征与特征”之间的关系，而不是“样本与样本”之间的关系。

  • $X$ 有 $n$ 个样本，2 个特征 ($f_1, f_2$) $\rightarrow$ $S_X$ 必须是 $2 \times 2$。
  • $Y$ 有 $n$ 个样本，1 个特征 ($f_1$) $\rightarrow$ $S_Y$ 必须是 $1 \times 1$ (即标量)。

为了彻底解开你的疑惑，我们把向量 $f_1$ 和 $f_2$ 里的每一个元素都写出来，用 内积求和 (Summation) 的形式展示这些矩阵到底是怎么算出来的。

0. 准备工作：把 $f_1$ 和 $f_2$ 拆开看

假设我们有 $n$ 个样本（比如 $n=100$）。 我们将列向量 $f_1$ and $f_2$ 写成具体的数值向量（假设数据已经 Centered，即均值为 0）：

$$ f_1 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}, \quad f_2 = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} $$
  • 题目条件 1 (Unit Variance): $f_1$ 的方差是 1。这意味着 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n a_i^2 = 1$。
  • 题目条件 2 (Uncorrelated): $f_1$ 和 $f_2$ 不相关。这意味着 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n a_i b_i = 0$。

1. 深度拆解 $S_X$

$S_X$ 是 $X$ 的协方差矩阵。公式是 $S_X = \frac{1}{n-1} X^\top X$。 $X$ 是一个 $n \times 2$ 的矩阵：

$$ X = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{pmatrix} $$

现在我们来做矩阵乘法 $X^\top X$（这是一个 $2 \times n$ 乘以 $n \times 2$）：

$$ S_X = \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{pmatrix} $$

让我们把结果矩阵里的每一个格子展开：

$$ S_X = \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} (a_1 a_1 + a_2 a_2 + \dots + a_n a_n) & (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n) \\ (b_1 a_1 + b_2 a_2 + \dots + b_n a_n) & (b_1 b_1 + b_2 b_2 + \dots + b_n b_n) \end{pmatrix} $$

代入求和公式：

$$ S_X = \begin{pmatrix} \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n a_i^2 & \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n a_i b_i \\ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n b_i a_i & \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n b_i^2 \end{pmatrix} $$

利用题目给的性质：

  • 左上角：$\sum a_i^2$ 是 $f_1$ 的方差 $\rightarrow$ 1。
  • 右上角：$\sum a_i b_i$ 是协方差 $\rightarrow$ 0。
  • 右下角：$\sum b_i^2$ 是 $f_2$ 的方差 $\rightarrow$ 1。

所以它确实是 $2 \times 2$ 的，而且是单位矩阵。

2. 深度拆解 $S_Y$ (它真的是标量吗？)

是的，它是标量。因为 $Y$ 只有 1 个特征。 $Y$ 是一个 $n \times 1$ 的矩阵：

$$ Y = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} $$

协方差矩阵公式 $S_Y = \frac{1}{n-1} Y^\top Y$。 这是一个 $(1 \times n)$ 乘以 $(n \times 1)$ 的运算，结果必为 $1 \times 1$。

$$ S_Y = \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} $$

展开运算：

$$ S_Y = \frac{1}{n-1} \left( a_1 a_1 + a_2 a_2 + \dots + a_n a_n \right) $$

$$ S_Y = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n a_i^2 $$

利用题目性质： 这正是 $f_1$ 的方差，所以结果是 1。 虽然它是矩阵形式（$[1]$），但因为只有 1 行 1 列，我们在代数运算中把它视为标量。

3. 深度拆解 $S_{XY}$

这是 $X$ 的特征与 $Y$ 的特征的交叉协方差。

  • $X$ 有 2 列。
  • $Y$ 有 1 列。
  • 结果必须是 $2 \times 1$ 的矩阵。
$$ S_{XY} = \frac{1}{n-1} X^\top Y = \frac{1}{n-1} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} $$

展开运算（第一行和第二行分别计算）：

第一行元素：

$$ \frac{1}{n-1} (a_1 a_1 + a_2 a_2 + \dots + a_n a_n) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n a_i^2 $$

(这是 $f_1$ 和 $f_1$ 自己的协方差 $\rightarrow$ 1)

第二行元素：

$$ \frac{1}{n-1} (b_1 a_1 + b_2 a_2 + \dots + b_n a_n) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n b_i a_i $$

(这是 $f_2$ 和 $f_1$ 的协方差 $\rightarrow$ 0)

最终结果：

$$ S_{XY} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

总结

在 CCA 里，我们用的是 $X^\top X$ 这种形式：

  • 我们是在聚合 $n$ 个样本，把它们压缩成了“方差”和“协方差”。
  • 所以矩阵的大小只取决于 特征的数量 (2个 和 1个)。

CCA：第一典型系数指的到底是什么？

没问题，我们把所有数学符号抛开，用一个最简单的**“调酒师”**的比喻来理清这个关系。

你的 CCA 过程就像是两个调酒师在比赛。

1. 角色与素材

  • $Z_{top}$ (Top 数据)：这是调酒师 A，他手里有 5 瓶基酒（这就是你提取出来的 5 个 PC：$v_1$ 到 $v_5$）。
  • $Z_{bot}$ (Bot 数据)：这是调酒师 B，他手里也有 5 瓶基酒（这也是 5 个 PC）。

2. CCA 的任务 (The Job)

CCA 对这两个调酒师说：

“你们俩各自用自己手里的 5 瓶酒调出一杯混合饮料，要求是：你们俩调出来的饮料，味道要尽可能一模一样！”

3. 三个关键概念的区别

在这个比喻中，你的三个数学符号分别代表：

A. $w_u$ 和 $w_v$（权重/方向）—— 这是“配方”

  • 这就是你论文里说的“输出结果”。
  • 它告诉调酒师 A：第一瓶酒放 0.5 盎司，第二瓶放 0.8 盎司，第三瓶不放……
  • 数学意义：它是一个 $5 \times 1$ 的向量。
  • 作用：它告诉你哪一个 PC 最重要。如果 $w_u$ 的第一个数很大，说明第一个 PC 是关键；如果接近 0，说明这个 PC 对这种关系没贡献。

B. $U$ 和 $V$（典型变量）—— 这是“调好的饮料”

  • 这是根据配方混合后产生的最终结果。
  • $U = Z_{top} \times w_u$（A 调出的饮料）。
  • $V = Z_{bot} \times w_v$（B 调出的饮料）。

C. $\rho$（典型相关系数）—— 这是“相似度打分”

  • 这就是你问的“第一类典型系数”。
  • 裁判尝了一口 $U$ 和一口 $V$，发现味道极度相似。
  • 裁判给出的分数是 0.95（满分是 1）。这个 0.95 就是 $\rho$。
  • 数学意义：它只是一个数字（标量），不是矩阵，也不是向量。

总结：回答你的问题

问题：在论文语境下，CCA 输出的权重矩阵（$w_u, w_v$）是否就是第一典型系数？

回答：不是。

  • $\rho$ (Coefficient) 是**“第一典型相关系数”。它代表结果有多好**（比如相关性 0.8）。
  • $w_u$ (Weight) 是**“第一对典型权重/方向”。它代表是怎么做到的**（比如 30% PC1 + 70% PC2）。

你在论文里得到的那个向量（Vector），是权重 ($w_u$)，它是用来解释结构的（即：哪些 PC 导致了这种高相关性）。

继续延用刚才的“调酒师”比喻，我们来看看第二典型相关系数 ($\rho_2$) 在你的论文语境下到底是什么。

1. 核心定义：第二轮比赛的“得分”

第一轮比赛（第一系数）已经结束了，调酒师 A 和 B 成功调出了一对最相似的饮料（比如“甜味柠檬水”），裁判打分 0.95 ($\rho_1$)。

现在，第二典型相关系数 ($\rho_2$) 就是第二轮比赛的最高得分。

但这场比赛有一个极其严格的新规则：禁止重复（正交性约束）。

2. 规则详解：不能和第一杯“撞味”

裁判对调酒师说：

“现在，请你们利用同样的 5 瓶基酒（PC1-PC5），再调第二对饮料。但是！这第二杯饮料的味道（包含的信息），必须和第一杯完全无关（Uncorrelated / Orthogonal）。”

  • 第一杯：如果是“甜味”主导的（代表某种主要趋势）。
  • 第二杯：就绝对不能再以“甜味”为主。它必须挖掘出第一杯里没有的味道，比如“辣味”或者“苦味”。

在这个约束下，调酒师 A 和 B 尽最大努力调出了第二对最像的饮料。 裁判再次品尝，发现这一对的相似度也很高，打分 0.80。

这个 0.80 就是 第二典型相关系数 ($\rho_2$)。

3. 在你论文语境下的物理意义

这就非常有意思了。因为你的数据经过了 PCA（提取主要结构），现在 CCA 在寻找 Top 和 Bot 之间的耦合模式（Coupled Modes）。

  • 第一系数 ($\rho_1$) 代表“主导耦合模式”：

    • 这是 Top 和 Bot 之间最明显的联动关系。
    • 例子：假设是流体力学，可能 $\rho_1$ 捕捉的是“当 Top 区域流速变快时，Bot 区域流速也变快”。这是最强的整体同步信号。

  • 第二系数 ($\rho_2$) 代表“次级耦合模式”：

    • 这是当把“整体同步”这个因素剔除之后，Top 和 Bot 之间剩下的最强联系。
    • 例子：它可能捕捉的是一种反向倾斜或者是局部震荡。比如“虽然整体都在变快（这是第一模式，已剔除），但当 Top 向左偏时，Bot 倾向于向右偏”。

4. 为什么会有第二系数？

因为现实世界的物理系统通常是复杂的，Top 和 Bot 的关系不仅仅只有一种简单的线性对应。

  • $\rho_1$ (Mode 1)：解释了 60% 的联动关系。
  • $\rho_2$ (Mode 2)：解释了另外 25% 的联动关系（独立于 Mode 1）。
  • $\rho_3$ (Mode 3)：解释了剩下 10%…

通常情况下，$\rho_1 > \rho_2 > \rho_3 \dots$。 如果在你的论文中 $\rho_2$ 也很大（比如 0.8 以上），说明 Top 和 Bot 之间存在不止一种显著的物理关联机制。

总结

在你的论文里： 第二典型系数 ($\rho_2$) 告诉读者：

“除了最主要的那种关联模式（由第一系数描述）之外，Top 和 Bot 数据之间还存在第二种独立的、显著的共同变化规律，其相似强度由 $\rho_2$ 表示。”

第一/二系数易混淆概念

问：不存在独特的第一/第二典型系数吧，因为PC的数量是人去自定义分配的。我让他是多少我算出来的就是多少，我丢掉那些之前最大影响的PC，用不重复的去继续算，它就是第二；我用最大那些最先做的，就是第一。是这样吗？

答：这是一个非常深刻的误解，也是很多人在使用 CCA 时最容易混淆的地方。

直接回答你：不，不是这样。你对“第一”和“第二”的定义理解偏了。

在标准的 CCA 算法中，“第二典型系数”不是通过“丢掉第一批输入，换一批输入”算出来的。

“第一系数”和“第二系数”是同一锅菜（同一组输入数据）里同时存在的两个不同维度的产物。

让我为你拆解这个误区：

1. 误区修正：输入不变，组合方式变了

假设你选定了 Top 5 PCs 作为输入（$Z_{top}$ 和 $Z_{bot}$）。一旦你把这 5 个 PC 喂进 CCA 算法，数据就定死了。

在这个固定的数据集里，CCA 会一次性算出 5 对结果（Pair 1, Pair 2… Pair 5）。

  • 第一典型系数 ($\rho_1$)：

    • 配方 $w_{u1}$：$0.9 \times PC_1 + 0.1 \times PC_2 \dots$
    • 这是这 5 个 PC 能组合出的最强相关性。

  • 第二典型系数 ($\rho_2$)：

    • 注意！输入依然是这 5 个 PC！
    • 但是配方 $w_{u2}$ 变了：$-0.2 \times PC_1 + 0.8 \times PC_2 \dots$
    • 它的任务是：利用同样的这 5 个原料，找出一种和第一种配方完全不一样的组合方式（正交），使得相关性依然最大。

哪怕你完全不换数据，不丢掉任何 PC，只要你的输入维度大于 1，你就天然拥有“第二典型系数”。

2. 你描述的操作是什么？

你刚才描述的操作是：

“我丢掉那些之前最大影响的 PC，用不重复的去继续算……”

如果你手动把 PC1 删掉，只把 PC2-PC5 喂给 CCA：

  1. 你是在人为改变题目。
  2. 这时候算出的一定是**“这个新数据集的”第一典型系数**。
  3. 它并不等同于原始数据集的第二典型系数。

为什么不等同？ 因为原始的“第二系数”可能依然需要用到 PC1（比如 PC1 需要以负权重参与）。如果你人为把 PC1 扔了，你就破坏了“第二系数”的最佳组合路径。

3. 用“调色盘”做比喻（终极通俗版）

想象你手里有 红、黄、蓝 三种颜料（这就是你的 Top 3 PCs）。

CCA 的工作（一次性输出）：

  • 第一系数（主色调）：

    • CCA 发现：30% 红 + 70% 黄（橙色）能让两张画最像。
    • 这是第一结果。

  • 第二系数（次色调）：

    • CCA 接着在剩下的可能性里找。
    • 它可能会说：80% 蓝 + 20% 红（紫色）是第二像的。
    • 重点来了：算第二系数时，红色依然在桌子上，依然可以使用！ 只是这次用的比例不同，且为了不和橙色重复。

你描述的操作：

  • 你说：“既然红色在第一轮用了，我把它扔进垃圾桶。只用黄、蓝去调。”
  • 这时候你调出来的可能是绿色（黄+蓝）。
  • 这就不是原来的“第二系数”（紫色）了，因为你人为禁用了红色，导致调不出紫色。

4. 结论：在你的论文语境下

你的论文逻辑是严谨的，因为顺序是这样的：

  1. PCA 阶段（人为筛选）：你只保留了 Top 5 PC。你说得对，这步是人定的。如果保留 Top 10，结果会微调。
  2. CCA 阶段（数学客观）：在给定 Top 5 PC 的前提下，数学上客观存在着唯一的 $\rho_1$（最强关联）和 $\rho_2$（次强关联）。

所以：

  • $\rho_1$：这 5 个 PC 构成的最强联系。
  • $\rho_2$：这 5 个 PC 构成的、独立于 $\rho_1$ 的第二强联系。

它们是并列存在的，不是靠“丢弃数据”得来的，而是靠“正交变换”得来的。

为什么需要验证约束条件和目标函数？

关于强制方差为1

这是一个非常关键的数学细节！简单来说，强制方差为 1 是为了消除“缩放”带来的作弊行为，并让数学求解变得可行。

这里有三个层面的原因，从直觉到数学：

1. 直觉层面：防止“作弊” (Scale Invariance)

CCA 的目标是最大化相关系数（Correlation），而不是协方差（Covariance）。

回顾一下相关系数的定义：

$$\text{Corr}(U, V) = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{\text{Var}(U)} \cdot \sqrt{\text{Var}(V)}}$$

如果你不限制方差（分母），我可以通过简单的“放大”让分子（协方差）变得无穷大：

  • 假设你找到了一个方向 $u$，算出来的协方差是 5。
  • 如果我把 $u$ 变成 $10u$（放大 10 倍），协方差就会变成 50，再放大 100 倍就是 5000。
  • 但是！ 当你把 $u$ 放大 10 倍时，分母里的方差同时也放大了 10 倍。
  • 结果： 分子分母抵消，相关系数其实根本没变。

结论： 向量的“长短”不影响相关性，只影响数值的大小。为了不让我们在无数个长短不一的向量中迷失，我们人为定一条规矩：“大家统一都缩放到标准长度（方差为1），在这个标准下去比谁的方向更好。”

2. 数学层面：把“分式”变成“乘法” (Simplification)

CCA 原始的优化目标是一个极其难算的分式：

$$\text{Maximize } \rho = \frac{u^\top S_{XY} v}{\sqrt{u^\top S_{X} u} \cdot \sqrt{v^\top S_{Y} v}}$$

对这种分式求导解方程非常痛苦。 但是，既然我们已经知道缩放不影响 $\rho$ 的值，我们就可以利用拉格朗日乘子法玩一个数学魔术：

我们直接强制分母等于 1：

$$u^\top S_{X} u = 1, \quad v^\top S_{Y} v = 1$$

这样，优化目标瞬间就简化成了只看分子：

$$\text{Maximize } u^\top S_{XY} v$$

这就好比： 你要选美（找 $\rho$ 最大）。与其让评委去计算“颜值/身高”的比率，不如直接规定“所有参赛者必须穿 10cm 的高跟鞋（方差归一化）”，然后直接比谁看起来最高（只比分子）。结果是一样的，但过程简单多了。

3. 结果的唯一性 (Uniqueness)

如果没有这个约束，CCA 的解会有无穷多个： $u$ 是解，$2u$ 也是解，$-5u$ 也是解……

有了 $Var=1$ 的约束，我们就锁定了唯一的那一组标准解（方向确定，模长确定），这样你在论文里写出来，大家算出来的数才是一样的。

一句话总结： 方差必须为 1，是为了固定标尺。因为我们关心的是**方向（Direction）带来的相关性，而不是幅度（Scale）**带来的数值膨胀。

这三个验证步骤其实可以分为两组：前两个是“查资格”，最后一个是“看成绩”。

让我们对应你图中的公式来一一拆解它们的物理意义：

第一组：查资格（验证约束条件）

1. 验证 $Var(Xu_1) = 1$ 2. 验证 $Var(Yv_1) = 1$

  • 它的意义：标准化 (Standardization)。
  • 通俗解释： 这是在检查我们新造出来的变量 $U$ (也就是 $Xu_1$) 和 $V$ (也就是 $Yv_1$) 是否符合“参赛标准”。 CCA 的规则规定：所有生成的典型变量，其自身的能量（方差）必须被归一化为 1。
  • 为什么要验？ 如果算出来不等于 1（比如等于 10 或者 0.5），说明你找到的方向向量 $u_1$ 和 $v_1$ 缩放比例不对，属于“违规操作”。
    • 在你的题目中：这一步确认了 $u_1=(1, 0)^T$ 和 $v_1=1$ 确实产生了标准的、单位方差的信号，没有被非法放大或缩小。

第二组：看成绩（验证目标函数）

3. 验证 $u_1^\top S_{XY} v_1 = 1$

  • 它的意义：相关性得分 (Correlation Score)。
  • 通俗解释： 这就是在计算最终的第一典型相关系数 ($\rho$)。 我们在 Part (b) 里凭直觉猜答案是 1，但那只是猜。这一步是把我们选定的方向代入公式，实打实地算一遍，看这两个新变量到底有多像。
  • 为什么要验？ 这是为了证明我们的直觉是数学上精确的。
    • 公式 $u^\top S_{XY} v$ 本质上就是在算 $Cov(U, V)$。
    • 因为前两步已经保证了分母（方差）是 1，所以这里的协方差直接就等于相关系数。
    • 结果：算出来是 1，证明 $U$ 和 $V$ 是完全线性相关的（在这个题里就是完全一样）。

总结：这三步构成了一个完整的闭环

想象你在参加一次“模仿秀”比赛：

  1. 验证 $Var(X)=1$：裁判拿尺子量你的身高，确认你穿了特制的增高鞋，身高符合标准（方差归一化）。
  2. 验证 $Var(Y)=1$：裁判量模仿对象的身高，确认他也符合标准。
  3. 验证 相关性=1：裁判把你们俩放在一起比对，发现长得一模一样（相关系数为 1，满分）。

如果前两步不对，你就算长得像也没资格拿奖；如果第三步不对，说明你根本没找对方向。