Quesiton 2考察的是数据矩阵（Data Matrix）的基本统计性质，特别是 样本均值 (Sample Mean)、样本协方差矩阵 (Sample Covariance Matrix) 的计算，以及线性变换对它们的影响。

题目核心设定：

  • $X \in \mathbb{R}^{10 \times 3}$：10个样本，3个变量。$n=10, p=3$。
  • Column-centered (列中心化)：每列的均值为 0。
  • Column-orthogonal (列正交)：$X^\top X = I_3$。

(a) Find the sample mean vector $\bar{x}$ and the sample covariance matrix $S$ of $X$.

这两个概念分别描述了矩阵列向量的**“位置性质”和“相互关系”**。它们在数据预处理（比如 PCA 主成分分析）和线性代数中非常关键。

我们把一个矩阵 $A$ 看作由若干列向量组成：$A = [c_1, c_2, ..., c_n]$。

Column Centered / Orthogonal

1. Column Centered (列中心化)

一句话解释：每一列的平均值都是 0。

  • 直观含义（统计学视角）： 想象矩阵的每一列代表一个特征（比如第一列是“身高”，第二列是“体重”）。 “列中心化”就是把这组数据的原点移到了数据的中心（均值点）。

    • 原来你的身高数据可能是 $[170, 180, 160]$（均值 170）。
    • 中心化后变成了 $[0, 10, -10]$（均值 0）。
    • 这正是你之前学到的 $I - J$ (Centering Matrix) 矩阵所做的事情。

  • 数学定义： 对于矩阵 $A$ 的每一列 $c_j$，其所有元素的和为 0：

    $$\sum_{i=1}^m a_{ij} = 0 \quad \text{或者用向量表示} \quad \mathbf{1}^\top c_j = 0$$

    这意味着列向量 $c_j$ 与全 1 向量 $\mathbf{1}$ 正交。

2. Column Orthogonal (列正交)

一句话解释：任意两列之间是互相垂直的。

  • 直观含义（几何视角）： 列向量之间互不干扰，夹角为 90 度。 如果你在画图，第一列是 X 轴方向，第二列是 Y 轴方向，它们就是列正交的。

    • 统计学意义： 如果数据已经“列中心化”了，那么“列正交”通常意味着这两个变量不相关 (Uncorrelated)。即知道变量 A 的变化趋势，无法预测变量 B。

  • 数学定义： 对于矩阵 $A$ 的任意两列 $c_i$ 和 $c_j$（$i \neq j$），它们的点积为 0：

    $$c_i^\top c_j = 0$$

    写成矩阵乘法的形式就是：$A^\top A$ 是一个对角矩阵 (Diagonal Matrix)。

  • 一个重要的区分（Orthogonal vs Orthonormal）：

    • Column Orthogonal：只要垂直就行，长度随意。
    • Column Orthonormal（标准正交）：不仅互相垂直，而且每一列的长度（模）都必须是 1。如果方阵满足这个条件，它就是传说中的正交矩阵 (Orthogonal Matrix)，满足 $Q^\top Q = I$。

Centering Operator 工作原理

好的，我们用一个具体的数字例子来演示。

所谓 Centering Operator（中心化算子），通常记作 $C$。它的数学本质是 $C = I - J$。 它的工作原理非常直观：“原数据 - 平均值”。

我们设定一个 $3 \times 2$ 的矩阵 $X$。这意味着我们有 3 个样本（行），每个样本有 2 个特征（列）。

1. 设定数据矩阵 $X$

为了方便口算，我们选一组简单的整数：

$$X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$
  • 第 1 列（特征 1）：数据是 1, 2, 3。平均值是 2。
  • 第 2 列（特征 2）：数据是 2, 4, 6。平均值是 4。

我们的目标是：让第一列变成 $[-1, 0, 1]^\top$，第二列变成 $[-2, 0, 2]^\top$（即每一列减去它自己的均值）。

2. 构造中心化算子 $C$

因为有 3 行数据，所以 $n=3$。 中心化算子 $C$ 是一个 $3 \times 3$ 的方阵：

$$C = I - J = I - \frac{1}{3}\mathbf{1}\mathbf{1}^\top$$$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad J = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{bmatrix}$$

相减得到 $C$：

$$C = \begin{bmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$$

3. 见证奇迹：矩阵乘法 $CX$

现在我们用算子 $C$ 去左乘数据矩阵 $X$：

$$X_{\text{centered}} = C \cdot X$$$$= \begin{bmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$

我们来算第一行第一列的元素（对应第一个样本的第一个特征）：

$$(\frac{2}{3} \times 1) + (-\frac{1}{3} \times 2) + (-\frac{1}{3} \times 3) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -1$$

(对了！原数据是 1，均值是 2，结果确实是 -1)

我们来算第二行第一列的元素：

$$(-\frac{1}{3} \times 1) + (\frac{2}{3} \times 2) + (-\frac{1}{3} \times 3) = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = 0$$

(对了！原数据是 2，均值是 2，结果确实是 0)

以此类推，最终结果是：

$$X_{\text{centered}} = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

4. 更直观的理解方法：分解动作

直接乘那个 $C$ 矩阵虽然严谨，但看起来很累。最聪明的理解方式是利用 $C = I - J$ 的性质将运算拆开：

$$CX = (I - J)X = \underbrace{IX}_{\text{原数据}} - \underbrace{JX}_{\text{均值矩阵}}$$

我们来看看 $JX$ 是什么： $J$ 是一个“取平均”的矩阵。它作用于 $X$ 时，会算出每一列的均值，并把它填满整列。

$$JX = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$

(看，这就是每一列的均值，重复了 3 次)

最后做减法：

$$X - JX = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

总结

Centering Operator $C$ 的作用就是： 保留数据的形状 ($I$)，减去数据的重心 ($J$)。

结果就是所有数据列的均值都变成了 0，实现了 Column Centered。

Outer-Product计算例，以及为什么它的rank永远是1

没问题。为了让你看清规律，这次我们不用全 1 向量，而是用两个完全不同的向量。

这就像是一个**“九九乘法表”**的扩展版。

假设我们有两个向量：

  • 列向量 $u$（放在左边）：$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
  • 行向量 $v^\top$（放在右边）：$\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

1. 摆好阵势

$$u v^\top = \begin{bmatrix} \mathbf{1} \\ \mathbf{2} \\ \mathbf{3} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \color{blue}4 & \color{blue}5 & \color{blue}6 \end{bmatrix}$$

2. 计算步骤：各取所需

计算规则依然是：$C_{ij} = u_i \times v_j$（左边的第 $i$ 个数 $\times$ 右边的第 $j$ 个数）。

  • 第一行（由左边的 1 负责）： 它是 $v^\top$ 的 1倍。

    $$1 \times [4, 5, 6] \rightarrow \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

  • 第二行（由左边的 2 负责）： 它是 $v^\top$ 的 2倍。

    $$2 \times [4, 5, 6] \rightarrow \begin{bmatrix} 8 & 10 & 12 \end{bmatrix}$$

  • 第三行（由左边的 3 负责）： 它是 $v^\top$ 的 3倍。

    $$3 \times [4, 5, 6] \rightarrow \begin{bmatrix} 12 & 15 & 18 \end{bmatrix}$$

3. 最终结果

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{bmatrix}$$

4. 这里的核心规律（一眼看穿）

仔细看最后这个 $3\times3$ 矩阵，你会发现一个惊人的规律，这对于线性代数非常重要：

  1. 看“行” (Rows)：

    • 第 2 行 $(8, 10, 12)$ 刚好是第 1 行的 2倍。
    • 第 3 行 $(12, 15, 18)$ 刚好是第 1 行的 3倍。
    • 结论： 所有的行都是线性相关的（也就是平行的）。

  2. 看“列” (Columns)：

    • 第 1 列是 $\begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{bmatrix}$，它是 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 的 4 倍。
    • 第 2 列是 $\begin{bmatrix} 5 \\ 10 \\ 15 \end{bmatrix}$，它是 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 的 5 倍。
    • 结论： 所有的列，本质上都是左边那个向量 $u$ 的倍数。

这就是为什么我们常说 Outer Product 生成的矩阵，秩 (Rank) 永远是 1。因为它虽然看起来很大（$3\times3$），但所有的行都长得一样（只是缩放比例不同），所有的列也都长得一样。

(b)中Y矩阵和X的具体计算表达

没问题！完全理解你的需求。

为了让你看得最清楚，我们放弃所有缩写，把这 30 个数据点（3列 × 10行）全部展开。我们定义符号 $f_{1, i}$ 表示 第 1 个变量（第1列）的第 $i$ 个观测值。

第一步：拆解原始矩阵 $X$

题目说 $X$ 有 3 列，每列 10 行。 为了不让屏幕太乱，我用 $f_{1,1}$ 代表第一列第一行的数，以此类推。

$$X = \begin{pmatrix} f_{1,1} & f_{2,1} & f_{3,1} \\ f_{1,2} & f_{2,2} & f_{3,2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ f_{1,10} & f_{2,10} & f_{3,10} \end{pmatrix}$$

题目给出的关键性质（正交性 $X^\top X = I$）在这个表达下意味着什么？ 这意味着：

  1. 自己乘自己（平方和）为 1：
    • 第1列的平方和：$\sum_{i=1}^{10} (f_{1,i})^2 = 1$
    • 第2列的平方和：$\sum_{i=1}^{10} (f_{2,i})^2 = 1$
    • 第3列的平方和：$\sum_{i=1}^{10} (f_{3,i})^2 = 1$
  2. 自己乘别人（交叉乘积和）为 0：
    • 第1列 $\times$ 第2列：$\sum_{i=1}^{10} f_{1,i} f_{2,i} = 0$
    • （其他两两组合以此类推也是 0）

第二步：写出变换后的矩阵 $Y$

题目要求：

  • $f_1$ (第1列) 变成 米 $\to$ 厘米 ($\times 100$)
  • $f_2$ (第2列) 保持 厘米 不变 ($\times 1$)
  • $f_3$ (第3列) 变成 毫米 $\to$ 厘米 ($\times 0.1$)

所以矩阵 $Y$ 就是把 $X$ 的每一列里的每一个元素都乘上对应的系数：

$$Y = \begin{pmatrix} 100 f_{1,1} & 1 f_{2,1} & 0.1 f_{3,1} \\ 100 f_{1,2} & 1 f_{2,2} & 0.1 f_{3,2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 100 f_{1,10} & 1 f_{2,10} & 0.1 f_{3,10} \end{pmatrix}$$

第三步：计算 $Y^\top Y$ (协方差的核心)

我们要求的协方差矩阵是 $S_Y = \frac{1}{10} Y^\top Y$。我们先算最复杂的 $Y^\top Y$。 $Y^\top$ 是把 $Y$ 躺倒（转置），变成 3行 × 10列：

$$Y^\top = \begin{pmatrix} 100f_{1,1} & 100f_{1,2} & \dots & 100f_{1,10} \\ 1f_{2,1} & 1f_{2,2} & \dots & 1f_{2,10} \\ 0.1f_{3,1} & 0.1f_{3,2} & \dots & 0.1f_{3,10} \end{pmatrix}$$

现在进行矩阵乘法 $Y^\top \times Y$ （3行10列 $\times$ 10行3列 = 3行3列）：

我们一个元素一个元素地看：

1. 计算左上角的元素 (第1行 $\times$ 第1列)

这是 $Y^\top$ 的第1行（$f_1$那一行）点乘 $Y$ 的第1列（$f_1$那一列）。

$$\text{Result}_{1,1} = (100 f_{1,1} \times 100 f_{1,1}) + (100 f_{1,2} \times 100 f_{1,2}) + \dots + (100 f_{1,10} \times 100 f_{1,10})$$

提取公因数 $100 \times 100 = 10000$：

$$= 10000 \underbrace{(f_{1,1}^2 + f_{1,2}^2 + \dots + f_{1,10}^2)}_{\text{这是X的第1列平方和，题目已知为1}}$$

$$= 10000 \times 1 = \mathbf{10000}$$

2. 计算中间的元素 (第2行 $\times$ 第2列)

这是 $Y^\top$ 的第2行点乘 $Y$ 的第2列。

$$\text{Result}_{2,2} = (1 f_{2,1} \times 1 f_{2,1}) + \dots = 1 \times \underbrace{\sum f_{2,i}^2}_{1} = \mathbf{1}$$

3. 计算右下角的元素 (第3行 $\times$ 第3列)

这是 $Y^\top$ 的第3行点乘 $Y$ 的第3列。

$$\text{Result}_{3,3} = (0.1 f_{3,1} \times 0.1 f_{3,1}) + \dots = 0.01 \times \underbrace{\sum f_{3,i}^2}_{1} = \mathbf{0.01}$$

4. 计算非对角线元素 (比如第1行 $\times$ 第2列)

这是 $Y^\top$ 的第1行点乘 $Y$ 的第2列。

$$\text{Result}_{1,2} = (100 f_{1,1} \times 1 f_{2,1}) + (100 f_{1,2} \times 1 f_{2,2}) + \dots$$

提取常数 $100 \times 1 = 100$：

$$= 100 \underbrace{(f_{1,1}f_{2,1} + f_{1,2}f_{2,2} + \dots + f_{1,10}f_{2,10})}_{\text{这是X的第1列与第2列的点积，题目已知正交为0}}$$

$$= 100 \times 0 = \mathbf{0}$$

(同理，所有非对角线元素，因为涉及不同列的 $f$ 相乘，结果都是 0)

第四步：汇总结果

经过上面的拆解计算，$Y^\top Y$ 的结果矩阵是：

$$Y^\top Y = \begin{pmatrix} 10000 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.01 \end{pmatrix}$$

最后，题目要求的样本协方差矩阵 $S_Y$ 是上面这个结果除以 $n=10$：

$$S_Y = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 10000 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.01 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1000 & 0 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.001 \end{pmatrix}$$

这样看是不是清晰多了？它的本质就是：因为原始数据互相垂直（正交），所以怎么缩放都不会产生新的相关性（非对角线还是0），只会改变自身的方差（对角线数值）。

继续解算矩阵乘法 $\mathbf{1}^\top X$

我们要计算的是 $\mathbf{1}^\top X$。

这里的 $\mathbf{1}$ 代表全 1 向量 (Vector of ones)。因为 $X$ 有 10 行（10个观测值），为了能进行矩阵乘法，$\mathbf{1}$ 必须是一个 $10 \times 1$ 的列向量。

所以 $\mathbf{1}^\top$ 就是一个 $1 \times 10$ 的行向量，里面全是 1。

第一步：把矩阵和向量写出来

$$ \mathbf{1}^\top X = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}_{1 \times 10 \text{ 的全1行向量}} \times \underbrace{\begin{pmatrix} f_{1,1} & f_{2,1} & f_{3,1} \\ f_{1,2} & f_{2,2} & f_{3,2} \\ f_{1,3} & f_{2,3} & f_{3,3} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ f_{1,10} & f_{2,10} & f_{3,10} \end{pmatrix}}_{10 \times 3 \text{ 的数据矩阵 } X} $$

第二步：执行矩阵乘法 (行 $\times$ 列)

结果矩阵的大小应该是 $(1 \times 10) \times (10 \times 3) = \mathbf{1 \times 3}$（一个包含3个数的行向量）。

我们要拿左边的“全1行”分别去乘右边的“每一列”。

1. 算结果的第一个数 (对应 $X$ 的第1列 $f_1$)： 左边的每一个 1 分别乘以第 1 列的每一个数，然后加起来。

$$= 1 \cdot f_{1,1} + 1 \cdot f_{1,2} + 1 \cdot f_{1,3} + \dots + 1 \cdot f_{1,10}$$

这实际上就是 $f_1$ 这一列所有元素的总和。

2. 算结果的第二个数 (对应 $X$ 的第2列 $f_2$)：

$$= 1 \cdot f_{2,1} + 1 \cdot f_{2,2} + \dots + 1 \cdot f_{2,10}$$

这实际上就是 $f_2$ 这一列所有元素的总和。

3. 算结果的第三个数 (对应 $X$ 的第3列 $f_3$)：

$$= 1 \cdot f_{3,1} + \dots + 1 \cdot f_{3,10}$$

这实际上就是 $f_3$ 这一列所有元素的总和。

第三步：写出中间结果

经过上面的计算，$\mathbf{1}^\top X$ 的结果是：

$$ \mathbf{1}^\top X = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{10} f_{1,i} & \sum_{i=1}^{10} f_{2,i} & \sum_{i=1}^{10} f_{3,i} \end{pmatrix} $$

也就是说，$\mathbf{1}^\top$ 在线性代数里有一个外号，叫 “求和器” (Summation operator)。它撞上谁，就是把谁的一列数全加起来。

第四步：代入题目条件 (Column-Centered)

现在回到题目最关键的已知条件： "$X$ is column-centered" (列中心化)。

这意味着每一列的均值 (Mean) 是 0。

$$\text{均值} = \frac{\text{总和}}{n} = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{总和} = 0$$

既然每一列的均值是 0，那么每一列的总和肯定也是 0。

所以：

  • 第1列总和 $\sum f_{1,i} = 0$
  • 第2列总和 $\sum f_{2,i} = 0$
  • 第3列总和 $\sum f_{3,i} = 0$

第五步：最终结果

将 0 代入刚才的向量：

$$ \mathbf{1}^\top X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}^\top $$

这就是为什么解析里直接写 $\mathbf{1}^\top X = \mathbf{0}^\top$ 的原因。这一步的物理意义是：把每一列的数据加起来，结果都是0。