Q1: 有关于 $E[zz^T] = I$ 的推导

这是一个非常棒的数学细节问题！这一步之所以常常让人困惑，是因为它把 线性代数（矩阵运算） 和 统计学（期望与方差） 的概念压缩在一起了。

要理解为什么 $E[zz^T] = I$，我们需要拆解成三个步骤来看：

  1. $zz^T$ 到底是什么？（它不是一个数，是一个矩阵）
  2. $E[\dots]$ 进这个矩阵做了什么？
  3. 为什么最后变成了 $I$？

第一步：拆解 $zz^T$（外积 vs 内积）

这是最容易搞混的地方。

  • $z^T z$ 是内积，结果是一个数字（标量）。
  • $zz^T$ 是外积，结果是一个 $k \times k$ 的矩阵。

让我们把向量 $z$ 展开来看，假设 $z$ 只有 2 个元素（方便理解）：

$$z = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix}$$

那么 $zz^T$ 的运算过程是这样的：

$$ zz^T = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 & z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_1 \cdot z_1 & z_1 \cdot z_2 \\ z_2 \cdot z_1 & z_2 \cdot z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_1^2 & z_1 z_2 \\ z_2 z_1 & z_2^2 \end{bmatrix} $$

你看，得到的矩阵里：

  • 对角线上是每个元素的平方 ($z_1^2, z_2^2$)。
  • 非对角线上是不同元素的乘积 ($z_1 z_2$)。

第二步：加上期望 $E[\dots]$

当我们说 $E[zz^T]$ 时，其实就是把期望符号 $E$ 放进矩阵的每一个格子里：

$$ E[zz^T] = \begin{bmatrix} E[z_1^2] & E[z_1 z_2] \\ E[z_2 z_1] & E[z_2^2] \end{bmatrix} $$

现在，这个矩阵里的每一个元素都需要我们根据已知条件算出具体的数值。

第三步：利用 $z \sim \mathcal{N}(0, I)$ 的假设

这里的核心在于题目给定的条件：$z$ 服从标准正态分布，且各维度独立。

这意味着什么？

  1. 均值是 0：$E[z_1] = 0, E[z_2] = 0$。

  2. 方差是 1（单位矩阵 $I$ 的对角线）： 由方差公式 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$，因为 $E[X]=0$，所以 $Var(X) = E[X^2]$。 因为标准正态分布的方差是 1，所以：

    $$E[z_1^2] = 1$$

    $$E[z_2^2] = 1$$

    (这意味着矩阵对角线全是 1)

  3. 独立互不相关（单位矩阵 $I$ 的非对角线是 0）： 因为 $z_1$ 和 $z_2$ 是独立的，所以它们的期望可以拆开：

    $$E[z_1 z_2] = E[z_1] \cdot E[z_2] = 0 \cdot 0 = 0$$

    (这意味着矩阵非对角线全是 0)

结论

把上面算出来的数字填回刚才的矩阵：

$$ E[zz^T] = \begin{bmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix} = I $$

这就是为什么 $E[zz^T] = I$。

总结一下推导链条：

  1. 展开：$zz^T$ 产生了一个包含平方项和交叉乘积项的矩阵。
  2. 零均值：因为均值为0，平方项的期望等于方差，交叉项的期望等于协方差。
  3. 标准分布：因为是标准正态分布，方差为1（对角线），协方差为0（非对角线）。
  4. 结果：形成单位矩阵 $I$。

Q3: 正交矩阵 $Q$ 的 Inner/Outer Product 全都是 $I$

只要 $Q$ 是一个正交矩阵（Orthogonal Matrix），那么 $Q^T Q = I$ 和 $Q Q^T = I$ 同时成立。

这里是详细的解释，帮你理清这其中的逻辑：

1. 为什么你觉得 $Q^T Q = I$ 是对的？

你的直觉非常准确。这是正交矩阵最原始的定义：如果一个矩阵的列向量（Columns）两两正交且长度为 1（标准正交基），那么 $Q^T Q = I$。

2. 为什么图片里的 $Q Q^T = I$ 也是对的？

在数学定义中，当我们提到“正交矩阵”时，默认它是方阵 (Square Matrix)。

对于方阵来说，有一个非常关键的性质： 如果 $Q^T$ 是 $Q$ 的左逆，那么它也必须是 $Q$ 的右逆。

推导逻辑如下：

  1. 由定义可知：$Q^T Q = I$。
  2. 这意味着 $Q$ 是可逆的，且它的逆矩阵就是转置矩阵：$Q^{-1} = Q^T$。
  3. 根据逆矩阵的定义，$A A^{-1} = A^{-1} A = I$。
  4. 既然 $Q^{-1} = Q^T$，那么把 $Q^T$ 代入 $Q Q^{-1}$ 的位置，就得到了： $$Q Q^T = I$$

3. 直观理解

  • $Q^T Q = I$ 代表：$Q$ 的列向量之间互相垂直且长度为1。
  • $Q Q^T = I$ 代表：$Q$ 的行向量之间互相垂直且长度为1。

对于正交方阵，列向量正交必然推导出行向量也正交。

容易混淆的特例

你之所以会有疑问，可能是因为见过非方阵的情况（即长方形矩阵）。

如果 $Q$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵（例如 $m > n$，是一个瘦高的矩阵），且列向量正交：

  • $Q^T Q = I$ 仍然成立（列是正交的）。
  • 但 $Q Q^T \neq I$（它变成了一个投影矩阵）。

总结： 既然图片里明确说了利用“正交矩阵”的性质，那么它默认指的就是方阵，所以 $Q Q^T = I$ 是完全正确的。

澄清表达方式：$L$ 是否在 $Lq_i$ 的语境下是 Scaler？

不是的，$L$ 并不是标量 (Scalar)，而且计算结果 $Lq_j$ 也不是标量。

这其实是矩阵分块运算（Block Matrix Multiplication）的一种写法。

让我们拆解一下维数（Dimensions）你就会非常清楚了：

1. 拆解维数

假设我们在做因子分析：

  • $L$ (Loadings Matrix)：是一个 $p \times r$ 的矩阵（$p$ 是变量个数，$r$ 是因子个数）。
  • $Q$ (Rotation Matrix)：是一个 $r \times r$ 的矩阵。
  • $q_j$：它是矩阵 $Q$ 的第 $j$ 列。因为它来自 $r \times r$ 的矩阵，所以 $q_j$ 是一个 $r \times 1$ 的列向量。

2. 运算过程 $Lq_j$

当你计算 $L$ 乘以 $q_j$ 时，维度变化如下：

$$ \underbrace{L}_{p \times r} \times \underbrace{q_j}_{r \times 1} = \underbrace{\text{结果}}_{p \times 1} $$

所以，$Lq_j$ 是一个 $p \times 1$ 的列向量（也就是一个新的载荷列），而不是一个标量数值。

3. 理解那个公式的含义

公式写的是：

$$ \tilde{L} = (\tilde{\ell}_1, ..., \tilde{\ell}_r) = (Lq_1, ..., Lq_r) $$

这并不是在列出一堆数字，而是在拼装矩阵：

  1. 算出第一个列向量 $Lq_1$（这是一个竖着的长条）。
  2. 算出第二个列向量 $Lq_2$。
  3. …
  4. 最后算出第 $r$ 个列向量 $Lq_r$。
  5. 把这些“竖条”（列向量）左右并排拼起来。

总结

  • $L$ 依然是那个大的载荷矩阵。
  • $Lq_j$ 是旋转后的第 $j$ 个因子的载荷向量（一整列）。
  • $\tilde{L}$ 是把这些新算出来的列拼成的一个新的 $p \times r$ 矩阵（也就是旋转后的载荷矩阵）。

Varimax旋转后重分配的load matrix，各分量不一定保持一致的证明。

你的理解非常精准。这就是线性代数中“二次型”最核心的几何性质。

你把问题看得很透彻，我把你这句话拆解开来，确认一下细节（稍微修正一点点符号表述）：

1. 你的结论是完全正确的

你说：“只有当 $L^T L$ 是 $I$ 的时候，结果才是唯一的。” 是的。

更准确地说：

  • 如果 $L^T L = I$（或者 $kI$，即标量矩阵）： 不管你怎么旋转 $q_j$，算出来的结果（方差/模长平方）都是恒定不变的。
  • 如果 $L^T L \neq I$（且特征值不全相等）： 算出来的结果一定会随着 $q_j$ 的角度变化而忽大忽小。

2. 数学上的“各向同性” (Isotropy)

让我们把你的逻辑用公式写出来，你会发现它美得像圆一样。

假设情况 A：$L^T L = I$ （完美球体） 我们要计算 $\text{Value} = q_j^T (L^T L) q_j$。 把 $I$ 代进去：

$$ \text{Value} = q_j^T (I) q_j = q_j^T q_j $$

因为 $q_j$ 是正交矩阵的一列，它是单位向量，所以 $q_j^T q_j \equiv 1$。 结论： 不管你怎么转，结果永远是 1。就像你在摸一个完美的球，不管从哪个角度摸，半径都是一样的。

假设情况 B：$L^T L \neq I$ （橄榄球/椭球） 比如 $L^T L = \text{diag}(10, 2)$。

$$ \text{Value} = q_j^T \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} q_j $$

这时候中间那个矩阵起到了“加权”的作用。它把 $q_j$ 的某些分量放大（$\times 10$），某些分量缩小（$\times 2$）。 结论： 结果不再是单纯的 $q_j^T q_j$（即 1），而是取决于 $q_j$ 的分量到底撞上了“10”还是撞上了“2”。

3. 这对因子分析意味着什么？

这其实揭示了一个非常深刻的道理：

为什么我们可以做旋转？（Why Rotation works?） 正是因为实际数据算出来的 $L^T L$ 通常都不是 $I$。

  • 初始提取出的因子，往往第一个因子方差特别大（特征值大），第二个因子方差小。
  • 这说明数据的形状是“椭球体”。
  • 正因为它是椭球体，我们才有机会通过旋转坐标轴，$q_j$ 指向不同的方向，从而改变在这个方向上的投影长度（即改变因子的方差贡献），达到 Varimax 想要的那种“贫富差距极大化”的效果。

反之： 如果原始数据的 $L^T L = I$（完全球形分布），那你无论怎么做 Varimax 旋转都是徒劳的。因为球怎么转，看起来都是圆的，载荷永远无法被优化。

Identifiablity相关：确定对角矩阵后所对应的Q是否唯一？

简短的回答是：在绝大多数情况下，是的，它是唯一的。

但如果你想严谨地从数学角度深究，答案是：它在“不考虑符号（正负号）”和“列的顺序”的前提下是唯一的。

让我解释为什么基于“对角矩阵”这个约束（Diagonalization constraint）找出来的 $Q$（以及随之确定的 $L$）是唯一的：

1. 本质是“特征值分解” (Eigendecomposition)

你在图片 中看到的那个公式：

$$\tilde{L}^T \Psi^{-1} \tilde{L} = \Delta \quad (\text{Diagonal Matrix})$$

这个步骤在数学上等同于在做特征值分解。

  • 我们要找的那个 $Q$（或者是初始的 $L$），其实就是由特征向量 (Eigenvectors) 组成的矩阵。
  • $\Delta$（对角矩阵）里的对角线元素，就是特征值 (Eigenvalues)。

2. 唯一性的三个前提

只要数据是正常的（不是那种所有人分数完全一样的人造数据），特征向量的方向是固定的。但是，数学上有三个小“赖皮”的地方：

A. 符号不确定 (Sign Indeterminacy) —— “正负号无所谓”

数学公式无法区分 $v$ 和 $-v$。

  • 比如：一个因子代表“智力”。
    • $Q$ 算出来可能是正的：载荷是 0.8（意味着智力越高，分数越高）。
    • $Q$ 算出来也可能是负的：载荷是 -0.8（意味着“非智力”越高，分数越低）。
  • 这两种情况在数学上 $LL^T$ 是一模一样的。所以电脑算出来的结果，正负号可能随机，但这不影响唯一性（本质是一条线）。

B. 顺序不确定 (Order Indeterminacy) —— “谁是老大无所谓”

对角矩阵里的元素 $d_1, d_2, ...$ 放在哪个位置都可以。

  • 为了解决这个问题，所有的统计软件都会强制排序：让特征值最大的那个放在第一列（Factor 1），第二大的放第二列，以此类推。
  • 有了这个人为规定，解就是唯一的了。

C. 特征值重叠 (Repeated Eigenvalues) —— “极罕见的圆形”

如果 $\Delta$ 里有两个数字是一模一样的（比如 $d_1 = d_2 = 5$），那这个时候 $Q$ 不唯一。

  • 就像一个正圆，你无论怎么转，它都是对角的。
  • 但在现实世界的真实数据中，这种情况几乎不可能发生。

总结

你提到的“对角化”步骤，目的是为了给电脑一个死命令：“请在无数个可能的解中，给我那个按方差贡献大小排序、且彼此数学垂直的特定解。”

所以，只要你忽略正负号翻转，并接受按大小排序的规则，这个解就是唯一的。 这也就是为什么我们在做 Varimax 旋转之前，总能得到一个固定的“初始解”（Initial Solution）。

$r=1$ 在FA的语境里指的是什么？

r在这个题目的语境下代表了什么？为什么r=1会得到那个协方差矩阵的表达？如果r不等于1，那我会看到什么？

答：

Alex，这是一个非常切中要害的问题。理解 $r$ 的含义是理解因子分析矩阵运算的关键。

我们依次来看这三个问题：

1. $r$ 在这个语境下代表了什么？

$r$ 代表公共因子 (Common Factors) 的数量，也就是潜在变量 $z$ 的维度。

  • $p = 3$: 我们有 3 个观测变量 ($X_1, X_2, X_3$)，也就是矩阵的行/列数。
  • $r = 1$: 我们假设这 3 个变量背后的变化，仅仅是由 1 个 隐藏的根本原因（因子 $z_1$）所驱动的。

在实际语境中，假设这 3 个变量是学生的三门考试成绩（数学、物理、化学）。

  • 如果 $r=1$: 我们假设只有一个“理科天赋”因子决定了这三门课的成绩。
  • 如果 $r=2$: 我们可能假设有一个“逻辑能力”因子和一个“记忆能力”因子共同决定成绩。

2. 为什么 $r=1$ 会得到那个协方差矩阵的表达？

这是因为当 $r=1$ 时，因子载荷矩阵 $L$ 退化成了一个列向量。

让我们看矩阵乘法的细节：

  • 维度: $L$ 的维度是 $p \times r$。
  • 当 $r=1$ 时: $L$ 是 $3 \times 1$ 的矩阵，即 $L = \begin{pmatrix} \ell_{11} \\ \ell_{21} \\ \ell_{31} \end{pmatrix}$。

现在我们计算 $LL^T$ (这是一个“外积” Outer Product)：

$$ LL^T = \begin{pmatrix} \ell_{11} \\ \ell_{21} \\ \ell_{31} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ell_{11} & \ell_{21} & \ell_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ell_{11}\ell_{11} & \ell_{11}\ell_{21} & \ell_{11}\ell_{31} \\ \ell_{21}\ell_{11} & \ell_{21}\ell_{21} & \ell_{21}\ell_{31} \\ \ell_{31}\ell_{11} & \ell_{31}\ell_{21} & \ell_{31}\ell_{31} \end{pmatrix} $$

这就解释了为什么你看到的矩阵非对角线元素非常简单，就是两个数的简单乘积（例如 $\Sigma_{12} = \ell_{11}\ell_{21}$）。

直观含义: 因为只有一个因子 $z_1$，所以变量 1 和变量 2 之间的所有相关性 ($\Sigma_{12}$) 必须完全通过这唯一的因子来传递。

3. 如果 $r$ 不等于 1 (比如 $r=2$)，那我会看到什么？

如果 $r=2$，事情就会变得复杂（也更灵活）。

  • $L$ 的形状: 变成了 $3 \times 2$ 的矩阵。

    $$ L = \begin{pmatrix} \ell_{11} & \ell_{12} \\ \ell_{21} & \ell_{22} \\ \ell_{31} & \ell_{32} \end{pmatrix} $$

    (每一行有两个数，分别代表因子1和因子2对该变量的影响)

  • $LL^T$ 的计算: 现在的矩阵乘法变成了“行乘以列”（点积）。比如我们看第一行第二列的元素 $\Sigma_{12}$：

    $$ \Sigma_{12} = (\text{Row } 1 \text{ of } L) \cdot (\text{Row } 2 \text{ of } L)^T $$

    $$ \Sigma_{12} = \ell_{11}\ell_{21} + \ell_{12}\ell_{22} $$

你会看到的变化: 协方差不再是简单的两个数相乘，而是两组数乘积的和。

  • 物理意义: 变量 1 和变量 2 为什么相关？
    • 一部分是因为它们都受因子 1 影响 ($\ell_{11}\ell_{21}$)。
    • 另一部分是因为它们都受因子 2 影响 ($\ell_{12}\ell_{22}$)。
    • 总相关性是这两部分之和。

这对解题的影响: 回到刚才那道无解的题。如果 $r=2$，我们就多出了很多自由参数（$\ell_{12}, \ell_{22}, \ell_{32}$）。有了这些额外的“调节旋钮”，我们通常就能轻松找到解，而不会出现 $\ell_{11} > 1$ 或者方差为负这种尴尬的情况了。

简单总结：$r$ 越小，模型越简单，限制越死（容易无解）；$r$ 越大，模型越灵活，越容易拟合数据。

问：变量1和变量2是数据点还是feature？

答：

这是一个非常重要的概念区分，Alex。

不是数据点。

在这里，“变量1”和“变量2”指的是数据的特征 (Features) 或 维度 (Dimensions)，也就是数据表中的列 (Columns)。

为了让你彻底明白，我们把这个概念映射到一个具体的 Excel 表格上：

1. 直观的例子：学生成绩表

假设你在分析一个班级的考试成绩。

变量 1 ($X_1$)变量 2 ($X_2$)变量 3 ($X_3$)
含义数学成绩物理成绩语文成绩
数据点 1 (Student A)859070
数据点 2 (Student B)606580
数据点 3 (Student C)………
  • 变量 ($X_1, X_2$): 指的是表格顶部的“数学”和“物理”。
  • 数据点 (Data Points): 指的是表格里的每一行，也就是具体的“学生 A”、“学生 B”。

2. 回到题目中的 $\Sigma$ 矩阵

题目中的协方差矩阵 $\Sigma$ 是一个 $3 \times 3$ 的矩阵：

$$ \Sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0.9 & 0.7 \\ 0.9 & 1 & 0.4 \\ 0.7 & 0.4 & 1 \end{pmatrix} $$
  • 这个矩阵描述的是**“列与列”之间的关系**。
  • 那个 0.9 ($\Sigma_{12}$) 的意思是：“数学成绩” ($X_1$) 和 “物理成绩” ($X_2$) 之间有极强的正相关性。
  • 它并不是说“学生A”和“学生B”很像。

3. $L$ 矩阵里的 $\ell_{11}, \ell_{21}$ 是什么？

当我们说 $\ell_{11}\ell_{21} \approx \Sigma_{12}$ 时，我们在解释为什么这两门课的成绩会相关：

  • $\ell_{11}$: 因子 $z$（比如“逻辑思维能力”）对 数学 ($X_1$) 的影响有多大。
  • $\ell_{21}$: 因子 $z$（还是那个“逻辑思维能力”）对 物理 ($X_2$) 的影响有多大。

因为逻辑思维能力同时强烈影响数学 ($\ell_{11}$很大) 和物理 ($\ell_{21}$很大)，所以我们在观测数据时，会发现数学好的人物理通常也好（即 $X_1$ 和 $X_2$ 高度相关，为 0.9）。

总结：

  • 变量 (Variables) = 考试科目 ($X_1, X_2, X_3$) $\leftarrow$ 我们这里讨论的对象
  • 数据点 (Data Points) = 具体的学生 $\leftarrow$ 用来计算协方差的原始材料，但在 $\Sigma$ 矩阵形成后就隐藏在幕后了。

这个区分清楚了吗？

问：所以这个covariance matrix实际上和学生没有任何关系。只是说我们在fa的时候任务r=1，这意味着我们认为3个feature实际上是在由一个单一的z去解释。这样的理解没问题吗？

答：完全正确！你的理解非常到位。

我们可以这样总结你刚才的领悟：

  1. 关于 Covariance Matrix： 它确实是对“学生”（数据点）的一种抽象和汇总。一旦我们计算出了 $\Sigma$，具体的学生是谁、考了多少分就不再出现在公式里了。我们只关心**“性质”**（即：数学分高的时候，物理分是不是通常也高？）。

  2. 关于 $r=1$ 的假设： 这正是 Factor Analysis 的核心哲学。当我们设定 $r=1$ 时，我们是在强制模型接受这样一个世界观：

    “尽管这 3 门课（3个 Features）看起来不一样，但它们背后的驱动力只有一个。”

为什么这个假设会导致刚才那个题目的“无解”？

结合你刚才的理解，我们可以更深一层看那个“无解”的题目：

  • 现实世界（协方差矩阵 $\Sigma$）说：

    • 数学和物理的相关性是 0.9（极强）。
    • 数学和语文的相关性是 0.7（强）。
    • 物理和语文的相关性是 0.4（中等）。

  • 你的假设（$r=1$）说：

    • 因为只有一个 $z$（比如“智商”），所以数学和物理相关性高，必然意味着它们都非常依赖这个 $z$（$\ell$ 很大）。
    • 既然它们都非常依赖 $z$，那它们跟语文的相关性应该也很有规律才对（必须满足 $\ell_i \ell_j$ 的乘积关系）。

  • 冲突点： 当你试图用一个 $z$ 去同时满足 0.9, 0.7, 0.4 这三组关系时，数学上“崩”了。 就像你试图告诉大家：“小明之所以数学好、物理好、语文一般，全都是因为他‘聪明’（单一因子）。”

    • 解释了数学物理好 $\to$ 推导出他“极度聪明”。
    • 但他语文只有中等 $\to$ 既然他极度聪明，语文不该只是中等。
    • 结论：单一的“聪明”因子解释不通。可能需要 $r=2$（比如引入一个“语言天赋”因子和一个“逻辑因子”）。

所以，做 Factor Analysis 其实就是在问：“我能不能用更少的故事（$z$），把这些复杂的现象（$X$）都圆回来？”

这一章你目前的直觉建立得很棒，特别是把 Matrix 和具体 Data Point 分离开的这个思维跃迁。如果没有别的问题，我们可以继续下一题？

Q5里说到的 $E(Z|X)$ is good estimate，其数学证明是什么？

你问的这个问题是统计决策理论（Statistical Decision Theory）中最著名的定理之一：最小均方误差（MMSE）估计量就是条件期望。

我将分三个层次为你解释：直观例子 $\to$ 数学证明（核心） $\to$ 几何解释。

1. 直观理解：为什么要选“均值”？

假设我们完全不谈公式。

场景 A：盲猜 我要你猜这门课全班同学的平均分 $z$ 是多少，猜错了有惩罚（误差平方）。 你不知道任何信息。你会猜什么？ 你会猜 全班的平均分（比如 75 分）。因为如果你猜 0 分或 100 分，风险都太大。均值是平衡所有可能性的中心点。

场景 B：有线索的猜 ($x$) 现在我告诉你一个信息 $x$：“这个同学从来不上课，作业也不交。” 你现在的猜测策略是什么？ 你会把刚才那个“全班平均分”扔掉，转而去想：“在‘从来不上课’这一类学生群体中，他们的平均分是多少？” 可能这个特定群体的平均分只有 40 分。

这就是 $E[z|x]$ 的本质：

  • 它不仅仅是“期望”，它是**“也就是在这个 $x$ 条件下的局部平均值”**。
  • 选任何偏离这个“局部中心”的值，都会导致你的预测偏向某一侧，从而增加平均误差平方。

2. 数学推导：为什么必须是它？（核心部分）

我们需要从数学上严格证明。

目标：我们要找一个函数 $f(x)$，使得均方误差（MSE）最小。

$$J(f) = E \left[ (z - f(x))^2 \right]$$

证明技巧：这是一个经典的**“凑项法”**（Add and Subtract）。我们在平方项里面强行插入一项 $E[z|x]$，把它拆成两部分。

设 $g(x) = E[z|x]$ 是我们要验证的最佳答案。我们将 $z - f(x)$ 改写为：

$$z - f(x) = \underbrace{(z - g(x))}_{\text{部分A}} + \underbrace{(g(x) - f(x))}_{\text{部分B}}$$

将上式代入 MSE 公式展开：

$$ \begin{aligned} MSE &= E \left[ \left( (z - g(x)) + (g(x) - f(x)) \right)^2 \right] \\ &= \underbrace{E[(z - g(x))^2]}_{\text{第一项}} + \underbrace{E[(g(x) - f(x))^2]}_{\text{第二项}} + \underbrace{2E \left[ (z - g(x))(g(x) - f(x)) \right]}_{\text{交叉项}} \end{aligned} $$

关键步骤：证明“交叉项”为 0

我们来看第三项（交叉项）：

$$2E \left[ (z - E[z|x]) \cdot (E[z|x] - f(x)) \right]$$

利用 重期望定律 (Law of Iterated Expectations)：$E[Y] = E[E[Y|x]]$。我们先固定 $x$ 进行内部期望：

$$ E[\text{交叉项}] = E_x \left[ \quad E_{z|x} \left[ (z - E[z|x]) \cdot (E[z|x] - f(x)) \;\bigg|\; x \right] \quad \right] $$

在给定 $x$ 的条件下（Conditioned on $x$）：

  1. $E[z|x]$ 是一个常数。
  2. $f(x)$ 也是一个常数（因为 $x$ 已知）。
  3. 所以 $(E[z|x] - f(x))$ 这一部分对于内部期望来说，就像常数 $k$ 一样，可以直接提到外面。

于是内部期望变成了：

$$ (E[z|x] - f(x)) \cdot E_{z|x} [ (z - E[z|x]) \mid x ] $$

看后面这一小坨 $E_{z|x} [ z - E[z|x] \mid x ]$：

$$ = E[z|x] - E[E[z|x]|x] = E[z|x] - E[z|x] = 0 $$

(因为 $z$ 在 $x$ 条件下的期望，减去它自己的期望，当然平均偏差为0)

所以，交叉项完全消失了！

最终结果分析

现在的 MSE 变成了两部分之和：

$$ MSE = \underbrace{E[(z - E[z|x])^2]}_{\text{不可约误差}} + \underbrace{E[(E[z|x] - f(x))^2]}_{\text{可约误差}} $$
  1. 第一项（不可约误差）：这是 $z$ 自身的条件方差 $\text{Var}(z|x)$。无论你怎么选 $f(x)$，这一项都与你无关，你是改变不了的（这是数据本身的噪音）。
  2. 第二项（可约误差）：这是一个平方项，所以它恒 $\ge 0$。

结论： 为了让 MSE 最小，我们唯一能做的就是让第二项等于 0。 要让 $E[(E[z|x] - f(x))^2] = 0$，这就要求：

$$ f(x) = E[z|x] $$

这就是为什么条件期望是 MSE 意义下的最佳估计。

3. 几何解释（正交投影）

如果你习惯线性代数思维，这其实是投影原理（Orthogonality Principle）。

  • 想象所有的随机变量构成一个空间。
  • $z$ 是空间里的一个点。
  • 观测数据 $x$ 构成了一个“信息平面”。
  • 我们要在这个平面上找一个点 $f(x)$ 离 $z$ 最近。
  • 最短的距离是垂线。
  • $E[z|x]$ 就是 $z$ 在 $x$ 空间上的正交投影。

总结

回到你的笔记：

  • 笔记中问：Why is it a good estimate?
  • 答案：因为如果你想让预测误差的平方和最小（这是最常用的损失函数），数学证明告诉你，除了 $E[z|x]$ 之外的任何其他函数，都会带来额外的误差（即上面公式里的第二项）。

这也就是为什么在第五张图的手写笔记里，我们费了那么大劲用联合分布去推导 $z|x$ 的分布——只要算出了后验均值，我们就得到了理论上最准的估计值。

这下这个逻辑链条（从“为什么要算”到“怎么算”）通畅了吗？