Phase 8 — Itô’s Formula 与应用

1. 动机：为什么普通链式法则不行？

在普通微积分中，如果 $g(t)$ 是可微函数，$f$ 是光滑函数，那么：

$$f(g(T)) - f(g(0)) = \int_0^T f'(g(t)) \cdot g'(t) , dt$$

微分形式：$df(g(t)) = f'(g(t)) , dg(t)$

如果对 BM 天真地套用这个公式，比如 $f(x) = \frac{1}{2}x^2$，$f'(x) = x$：

$$\frac{1}{2}B_T^2 - \frac{1}{2}B_0^2 \stackrel{?}{=} \int_0^T B_t , dB_t$$

但右边是 Itô integral，它是 martingale，所以期望为零。而左边 $E[\frac{1}{2}B_T^2] = \frac{T}{2} > 0$。矛盾。

所以普通链式法则对 BM 不成立。差了什么？差了一个修正项。这个修正项就是 Itô’s formula 的核心。

2. Itô’s Formula：基本版（$f(B_t)$）

定理： 设 $f$ 是二阶连续可微函数。那么：

$$f(B_T) - f(B_0) = \int_0^T f'(B_t) , dB_t + \frac{1}{2}\int_0^T f''(B_t) , dt$$

微分形式：

$$df(B_t) = f'(B_t) , dB_t + \frac{1}{2}f''(B_t) , dt$$

和普通链式法则比，多了 $\frac{1}{2}f''(B_t) , dt$ 这一项。

两个积分的性质完全不同：

  • $\int_0^T f'(B_t) , dB_t$ 是 Itô integral，是 martingale，期望为零
  • $\frac{1}{2}\int_0^T f''(B_t) , dt$ 是普通 Riemann integral，一般期望不为零

3. 证明思路

这个证明的核心思想是 Taylor 展开。把 $f(B_T) - f(B_0)$ 写成 telescoping sum：

$$f(B_T) - f(B_0) = \sum_{i=0}^{N-1} \left(f(B_{t_{i+1}}) - f(B_{t_i})\right)$$

其中 $t_i = iT/N$。对每一项做 Taylor 展开到二阶：

$$f(B_{t_{i+1}}) - f(B_{t_i}) = f'(B_{t_i}) \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}) + \frac{1}{2}f''(B_{t_i}) \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2 + O(|B_{t_{i+1}} - B_{t_i}|^3)$$

第三项（余项）：$|B_{t_{i+1}} - B_{t_i}|^3$ 的量级是 $(\Delta t)^{3/2}$。$N$ 项求和后是 $O(N \cdot (\Delta t)^{3/2}) = O((\Delta t)^{1/2}) \to 0$。所以余项消失。

第一项求和：

$$\sum_{i=0}^{N-1} f'(B_{t_i}) \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}) \to \int_0^T f'(B_t) , dB_t$$

这就是 Itô integral 的定义（左端点）。

第二项求和：

$$\sum_{i=0}^{N-1} \frac{1}{2}f''(B_{t_i}) \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2$$

这是关键步骤。$(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2$ 的期望是 $\Delta t$，而且由 SLLN 类型的论证：

$$\sum_{i=0}^{N-1} f''(B_{t_i}) \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2 \to \int_0^T f''(B_t) , dt \quad \text{(a.s.)}$$

直觉上，$(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2 \approx \Delta t$（这就是 BM 的"quadratic variation 等于 $t$“这个事实），所以上面的求和近似 $\sum f''(B_{t_i}) \Delta t$，这是 $\int f''(B_t) , dt$ 的 Riemann sum。

乘上 $\frac{1}{2}$ 就得到了 $\frac{1}{2}\int_0^T f''(B_t) , dt$。

在普通微积分中为什么没有这一项？ 因为对可微函数 $g$，$(g(t_{i+1}) - g(t_i))^2 \approx (g'(t_i))^2 (\Delta t)^2$，求和后是 $O(\Delta t) \to 0$。二阶项消失了。但对 BM，$(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2 \approx \Delta t$，求和后是 $O(1)$，不消失。这就是 Itô’s formula 多出修正项的根本原因。

4. 基本版的例子

例子 1：$f(x) = \frac{1}{2}x^2$

$f'(x) = x$，$f''(x) = 1$。

$$\frac{1}{2}B_T^2 - \frac{1}{2}B_0^2 = \int_0^T B_t , dB_t + \frac{1}{2}\int_0^T 1 , dt$$

$B_0 = 0$，所以：

$$\frac{1}{2}B_T^2 = \int_0^T B_t , dB_t + \frac{T}{2}$$

整理：

$$\int_0^T B_t , dB_t = \frac{1}{2}B_T^2 - \frac{T}{2}$$

验证一致性：右边是 $\frac{1}{2}(B_T^2 - T)$，而我们在 Phase 6 已经知道 $B_T^2 - T$ 是 martingale。所以 $\int_0^T B_t , dB_t = \frac{1}{2}(B_T^2 - T)$ 确实是 martingale，和 Itô integral 的性质一致。

例子 2：$f(x) = e^x$

$f'(x) = e^x$，$f''(x) = e^x$。

$$e^{B_T} - e^{B_0} = \int_0^T e^{B_t} , dB_t + \frac{1}{2}\int_0^T e^{B_t} , dt$$

$B_0 = 0$，$e^{B_0} = 1$：

$$e^{B_T} - 1 = \int_0^T e^{B_t} , dB_t + \frac{1}{2}\int_0^T e^{B_t} , dt$$

整理：

$$\int_0^T e^{B_t} , dB_t = e^{B_T} - 1 - \frac{1}{2}\int_0^T e^{B_t} , dt$$

或者等价地：

$$e^{B_T} - \frac{1}{2}\int_0^T e^{B_t} , dt \text{ 是 martingale（因为 } \int e^{B_t} dB_t \text{ 是 MG）}$$

5. 用 Itô’s Formula 系统构造 Martingale

上面的例子揭示了一个通用方法。对任意二阶可微的 $f$：

$$f(B_t) - f(B_0) = \underbrace{\int_0^t f'(B_s) , dB_s}_{\text{martingale}} + \underbrace{\frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s) , ds}_{\text{Riemann integral}}$$

把 Riemann integral 那项移到左边：

$$f(B_t) - f(B_0) - \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s) , ds = \int_0^t f'(B_s) , dB_s$$

右边是 Itô integral，是 martingale。所以左边也是 martingale：

$$\left(f(B_t) - f(B_0) - \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s) , ds\right)_{t \geq 0} \text{ 是 martingale}$$

这给了一个从任意 $f$ 直接构造 martingale 的方法，不需要手动验证条件期望。

回顾 Phase 6 的两个 martingale：

  • $f(x) = x$：$f'' = 0$，所以 $B_t - B_0 - 0 = B_t$ 是 MG
  • $f(x) = x^2$：$f'' = 2$，所以 $B_t^2 - B_0^2 - \frac{1}{2}\int_0^t 2 , ds = B_t^2 - t$ 是 MG

6. Quadratic Variation

在证明 Itô’s formula 的过程中，出现了 $(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2$ 求和趋向 $t$ 这个事实。这引出了一个重要概念。

定义： 给定过程 $(Z_t)_{t \geq 0}$，它的 quadratic variation 是：

$$\langle Z \rangle_t = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=0}^{N-1} (Z_{t_{i+1}} - Z_{t_i})^2$$

其中 $t_i = it/N$（等距分割）。

对比 total variation： $\lim_{N \to \infty} \sum |Z_{t_{i+1}} - Z_{t_i}|$（绝对值求和）。可微函数的 total variation 有限，quadratic variation 为零。BM 正好反过来：total variation 无限，quadratic variation 有限（等于 $t$）。

BM 的 quadratic variation：

$$\langle B \rangle_t = t$$

微分形式：$d\langle B \rangle_t = dt$。

这就是为什么 Itô’s formula 中 $\frac{1}{2}f''(B_t) \cdot (dB_t)^2$ 可以替换成 $\frac{1}{2}f''(B_t) \cdot dt$。

一般过程的 Quadratic Variation

如果 $Z_t$ 满足 $dZ_t = X_t , dt + Y_t , dB_t$（即 $Z_t = Z_0 + \int_0^t X_s , ds + \int_0^t Y_s , dB_s$），那么：

$$d\langle Z \rangle_t = Y_t^2 , dt$$

为什么？直觉上，$dZ_t$ 中的 $dt$ 项在平方后给出 $(dt)^2$，这比 $dt$ 高阶，消失了。$dB_t$ 项在平方后给出 $(dB_t)^2 = dt$。交叉项 $dt \cdot dB_t$ 也消失（比 $dt$ 高阶）。所以只剩下 $Y_t^2 (dB_t)^2 = Y_t^2 , dt$。

用一个"运算规则"来记：

$$(dB_t)^2 = dt, \quad (dt)^2 = 0, \quad dt \cdot dB_t = 0$$

7. 一般版 Itô’s Formula

现在把 Itô’s formula 从 $f(B_t)$ 推广到 $f(Z_t)$，其中 $Z_t$ 是一般的 Itô process。

设置： $dZ_t = X_t , dt + Y_t , dB_t$，$f$ 二阶可微。

定理：

$$df(Z_t) = f'(Z_t) , dZ_t + \frac{1}{2}f''(Z_t) , d\langle Z \rangle_t$$

把 $dZ_t$ 和 $d\langle Z \rangle_t$ 代入：

$$df(Z_t) = f'(Z_t)(X_t , dt + Y_t , dB_t) + \frac{1}{2}f''(Z_t) \cdot Y_t^2 , dt$$

整理（把 $dt$ 项合并，$dB_t$ 项单独放）：

$$df(Z_t) = \left(f'(Z_t) X_t + \frac{1}{2}f''(Z_t) Y_t^2\right) dt + f'(Z_t) Y_t , dB_t$$

判断 martingale 的方法： $dB_t$ 项是 martingale 增量，$dt$ 项是"drift”。如果 $dt$ 项为零，$f(Z_t)$ 就是 martingale。

8. Time-Inhomogeneous 版本

如果 $f$ 还显式依赖时间 $t$，即考虑 $f(t, Z_t)$：

$$df(t, Z_t) = \frac{\partial f}{\partial t}(t, Z_t) , dt + \frac{\partial f}{\partial z}(t, Z_t) , dZ_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}(t, Z_t) , d\langle Z \rangle_t$$

把 $dZ_t = X_t , dt + Y_t , dB_t$ 和 $d\langle Z \rangle_t = Y_t^2 , dt$ 代入：

$$df(t, Z_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z} X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} Y_t^2\right) dt + \frac{\partial f}{\partial z} Y_t , dB_t$$

同样的规则：$dB_t$ 部分是 martingale，$dt$ 部分是 drift。drift 为零时 $f(t, Z_t)$ 是 martingale。

9. 核心例子：$e^{bB_t - b^2t/2}$ 是 Martingale

这是课上的重要例子，也和 Midterm 2 Q3 的 exponential martingale 直接对应。

取 $f(t, z) = e^{at + bz}$，$Z_t = B_t$（即 $X_t = 0$，$Y_t = 1$）。

计算偏导数：

$$\frac{\partial f}{\partial t} = a \cdot e^{at + bz}$$$$\frac{\partial f}{\partial z} = b \cdot e^{at + bz}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = b^2 \cdot e^{at + bz}$$

代入 time-inhomogeneous Itô’s formula：

$$df(t, B_t) = \left(a \cdot e^{at+bB_t} + \frac{b^2}{2} \cdot e^{at+bB_t}\right) dt + b \cdot e^{at+bB_t} , dB_t$$$$= \left(a + \frac{b^2}{2}\right) f(t, B_t) , dt + b \cdot f(t, B_t) , dB_t$$

要让 $f(t, B_t)$ 成为 martingale，需要 $dt$ 项为零：

$$a + \frac{b^2}{2} = 0 \implies a = -\frac{b^2}{2}$$

代入 $f$：

$$f(t, B_t) = e^{-b^2t/2 + bB_t} = e^{bB_t - b^2t/2}$$

所以 $\left(e^{bB_t - b^2t/2}\right)_{t \geq 0}$ 是 martingale。

和 Midterm 2 Q3 的对应： Q3 中的 $M_n(\theta) = e^{\theta X_n - n\lambda(\theta)}$ 是离散版本。$\theta$ 对应 $b$，$\lambda(\theta)$ 对应 $b^2/2$（BM 的情况下 $\lambda(\theta) = \theta^2/2$，因为 $\frac{1}{2}e^\theta + \frac{1}{2}e^{-\theta} \leq e^{\theta^2/2}$，等号在连续极限下成立）。

Itô’s formula 的威力： 我们不需要手动计算 $E[e^{bB_t - b^2t/2} | \mathcal{F}_s]$ 来验证 martingale 性质。只需要对 $f(t, z) = e^{at+bz}$ 做 Itô expansion，让 $dt$ 系数为零，就自动得到了 martingale 的条件。

10. Product Rule（Itô 版本）

普通微积分：$d(fg) = f , dg + g , df$

Itô 版本多一个交叉项。设：

$$dZ_t^{(1)} = X_t^{(1)} dt + Y_t^{(1)} dB_t$$

$$dZ_t^{(2)} = X_t^{(2)} dt + Y_t^{(2)} dB_t$$

那么：

$$d(Z_t^{(1)} Z_t^{(2)}) = Z_t^{(1)} , dZ_t^{(2)} + Z_t^{(2)} , dZ_t^{(1)} + d\langle Z^{(1)}, Z^{(2)} \rangle_t$$

多出来的 $d\langle Z^{(1)}, Z^{(2)} \rangle_t$ 叫做 cross variation（交叉变差），定义为：

$$\langle Z^{(1)}, Z^{(2)} \rangle_t = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=0}^{N-1} (Z_{t_{i+1}}^{(1)} - Z_{t_i}^{(1)})(Z_{t_{i+1}}^{(2)} - Z_{t_i}^{(2)})$$

和 quadratic variation 类似的推导给出：

$$d\langle Z^{(1)}, Z^{(2)} \rangle_t = Y_t^{(1)} Y_t^{(2)} , dt$$

（只有 $dB_t$ 部分贡献，$dt$ 部分在相乘后消失）

一个特殊情况用来验证： 取 $Z_t^{(1)} = Z_t^{(2)} = Z_t$，那么 product rule 变成：

$$d(Z_t^2) = 2Z_t , dZ_t + d\langle Z \rangle_t$$

这和用 Itô’s formula 对 $f(x) = x^2$ 展开得到的结果一致：

$$d(Z_t^2) = 2Z_t , dZ_t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d\langle Z \rangle_t = 2Z_t , dZ_t + d\langle Z \rangle_t \quad \checkmark$$

课上的推导方法（Polarization trick）：

$$Z_t^{(1)} Z_t^{(2)} = \frac{1}{4}\left[(Z_t^{(1)} + Z_t^{(2)})^2 - (Z_t^{(1)} - Z_t^{(2)})^2\right]$$

对左右两个平方分别用 $d(Z^2) = 2Z , dZ + d\langle Z \rangle$，然后相减，就得到 product rule。这和线性代数中的 polarization identity 是一样的思路。

11. 运算规则总结

在做 Itô calculus 计算时，记住这三条规则就够了：

$$(dB_t)^2 = dt$$

$$(dt)^2 = 0$$

$$dt \cdot dB_t = 0$$

所有的 Itô’s formula（基本版、一般版、time-inhomogeneous、product rule）都可以从 Taylor 展开 + 这三条规则推出来。

用法： 遇到 $(dZ_t)^2$ 或 $d\langle Z \rangle_t$ 时，把 $dZ_t = X_t dt + Y_t dB_t$ 代入，用上面的规则展开：

$$(dZ_t)^2 = (X_t dt + Y_t dB_t)^2 = X_t^2 (dt)^2 + 2X_t Y_t , dt , dB_t + Y_t^2 (dB_t)^2 = 0 + 0 + Y_t^2 dt = Y_t^2 dt$$

12. Phase 8 小结

概念要点
基本 Itô’s formula$df(B_t) = f'(B_t)dB_t + \frac{1}{2}f''(B_t)dt$
修正项的来源$(dB_t)^2 = dt \neq 0$（二次项不消失）
Quadratic variation$\langle B \rangle_t = t$；一般过程 $d\langle Z \rangle_t = Y_t^2 dt$
一般版$df(Z_t) = f'(Z_t)dZ_t + \frac{1}{2}f''(Z_t)d\langle Z \rangle_t$
Time-inhomogeneous加上 $\frac{\partial f}{\partial t} dt$ 项
判断 MGItô expansion 中 $dt$ 系数 $= 0$ → martingale
核心例子$e^{bB_t - b^2t/2}$ 是 MG（令 $a + b^2/2 = 0$）
Product rule$d(Z^{(1)}Z^{(2)}) = Z^{(1)}dZ^{(2)} + Z^{(2)}dZ^{(1)} + d\langle Z^{(1)}, Z^{(2)}\rangle_t$
运算规则$(dB)^2 = dt$，$(dt)^2 = 0$，$dt \cdot dB = 0$