Phase 7 — Itô Integral 定义与性质
1. 为什么需要新的积分？
Phase 6 最后提到 BM 处处不可微。现在来看这为什么是个问题。
在普通微积分中，如果 $g(t)$ 是可微函数，我们可以定义 Riemann-Stieltjes 积分：
$$\int_0^T f(t) , dg(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{i=0}^{N-1} f(\xi_i) \cdot (g(t_{i+1}) - g(t_i))$$其中 $\xi_i \in [t_i, t_{i+1}]$ 是每个小区间中的某个点。一个关键事实是：对于可微的 $g$，无论你怎么选 $\xi_i$（左端点、右端点、中点、任意点），极限都是一样的。
但如果我们尝试对 BM 做同样的事——定义 $\int_0^T Y_t , dB_t$——问题就来了。
2. 选不同的点会得到不同的结果
考虑最简单的情况：$Y_t = B_t$，即计算 $\int_0^T B_t , dB_t$。
离散化：
$$\sum_{i=0}^{N-1} B_{\xi_i} \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})$$其中 $t_i = i\Delta t$，$\Delta t = T/N$。
把 $B_{\xi_i}$ 拆成两部分：
$$B_{\xi_i} = B_{t_i} + (B_{\xi_i} - B_{t_i})$$所以求和变成：
$$\sum_{i=0}^{N-1} B_{t_i} \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}) + \sum_{i=0}^{N-1} (B_{\xi_i} - B_{t_i}) \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})$$第一项（称为 Term 1）不依赖于 $\xi_i$ 的选择。问题在第二项（Term 2）。
取 $\xi_i = t_i$（左端点）： $B_{\xi_i} - B_{t_i} = 0$，Term 2 = 0。
取 $\xi_i = \frac{t_i + t_{i+1}}{2}$（中点）：
Term 2 中每一项是 $(B_{(t_i + t_{i+1})/2} - B_{t_i}) \cdot (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})$。
这一项的期望是多少？$B_{(t_i + t_{i+1})/2} - B_{t_i}$ 和 $B_{t_{i+1}} - B_{t_i}$ 不独立（前者是后者的"一半"）。可以算出每一项的期望是 $\Delta t / 2$。
有 $N$ 项，所以 Term 2 的期望是 $N \cdot \Delta t / 2 = T/2$。
由 SLLN，Term 2 $\to T/2$（a.s.）。
结论： 选左端点得到的极限和选中点得到的极限差了 $T/2$。选不同的 $\xi_i$ 会给出不同的积分。
这是 BM 和可微函数的根本区别。对于可微函数，$(g(t_{i+1}) - g(t_i))^2 \approx (g'(t_i))^2 (\Delta t)^2$，求和后是 $O(\Delta t) \to 0$。但对于 BM，$(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2$ 的期望是 $\Delta t$（不是 $(\Delta t)^2$），求和后是 $O(1)$，不趋向零。这个"二次项不消失"的性质就是后面 Itô’s formula 多出 $\frac{1}{2}f''$ 项的根本原因。
3. Itô Integral 的定义：选左端点
既然必须做一个选择，Itô 的选择是左端点。理由是：选左端点能保持 martingale 性质。
Step 1：对 piecewise constant 过程定义
设 $(Y_t)$ 是一个 piecewise constant 过程：存在确定的时间点 $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_m = T$，使得
$$Y_t = Y^{(k)} \quad \text{for } t \in [t_k, t_{k+1})$$其中每个 $Y^{(k)}$ 是 $\mathcal{F}_{t_k}$-measurable 的（只依赖于 $t_k$ 时刻及之前的信息）。
对这样的过程，定义：
$$\int_0^T Y_t , dB_t = \sum_{k=0}^{m-1} Y^{(k)} \cdot (B_{t_{k+1}} - B_{t_k})$$这就是"在每个区间上，用左端点的值乘以 BM 的增量"。
为什么左端点保证 martingale 性质？
看单个项 $Y^{(k)} \cdot (B_{t_{k+1}} - B_{t_k})$。
$Y^{(k)}$ 在 $\mathcal{F}_{t_k}$ 中已知（adapted，只看过去）。$B_{t_{k+1}} - B_{t_k}$ 独立于 $\mathcal{F}_{t_k}$（BM 的独立增量）。所以：
$$E[Y^{(k)} \cdot (B_{t_{k+1}} - B_{t_k}) ,|, \mathcal{F}_{t_k}] = Y^{(k)} \cdot E[B_{t_{k+1}} - B_{t_k}] = Y^{(k)} \cdot 0 = 0$$每一项的条件期望为零，这就是 martingale 增量的结构。
如果选的是中点或右端点，$Y_{\xi_i}$ 会依赖于 $B_{t_{i+1}} - B_{t_i}$ 的部分信息，就不再独立了，martingale 性质就丢失了。
Step 2：对一般的 adapted 连续过程取极限
设 $(Y_t)_{t \geq 0}$ 是 adapted（$Y_t$ 只依赖于 $(B_s)_{s \leq t}$）且有连续路径。
构造 piecewise constant 近似：
$$Y_t^{(n)} = Y_{t_i} \quad \text{for } t \in [t_i, t_{i+1}), \quad \text{where } t_i = i \cdot T/n$$（在每个小区间上，用左端点的值作为常数近似）
因为 $Y_t$ 有连续路径，当 $n \to \infty$ 时 $Y_t^{(n)} \to Y_t$。更精确地：
$$\lim_{n \to \infty} \int_0^T E\left[|Y_t - Y_t^{(n)}|^2\right] dt = 0$$（连续函数可以被 piecewise constant 函数在 $L^2$ 意义下逼近）
然后用 Isometry property（下面马上讲）证明 $\int_0^T Y_t^{(n)} , dB_t$ 在 $L^2$ 中是 Cauchy 序列，因此极限存在。
定义： $\int_0^T Y_t , dB_t$ 是这个 $L^2$ 极限。这就是 Itô integral。
4. Itô Integral 的两个核心性质
性质 1：Martingale Property
$$\left(\int_0^t Y_s , dB_s\right)_{t \geq 0} \text{ 是 martingale}$$对 piecewise constant 的情况，这在上面已经解释了——每个增量 $Y^{(k)} (B_{t_{k+1}} - B_{t_k})$ 的条件期望为零。取 $L^2$ 极限后性质保持。
一个直接推论：
$$E\left[\int_0^T Y_t , dB_t\right] = 0$$（martingale 的期望不变，初始值为 0）
性质 2：Itô Isometry
$$E\left[\left(\int_0^T Y_t , dB_t\right)^2\right] = \int_0^T E[Y_t^2] , dt$$左边是 Itô integral 的平方的期望（即方差，因为均值为零）。右边是 $Y_t^2$ 的期望的普通 Riemann 积分。
为什么成立？ 对 piecewise constant 的情况：
$$\left(\int_0^T Y_t , dB_t\right)^2 = \left(\sum_{k=0}^{m-1} Y^{(k)} (B_{t_{k+1}} - B_{t_k})\right)^2$$展开平方得到对角项和交叉项。
对角项：$(Y^{(k)})^2 (B_{t_{k+1}} - B_{t_k})^2$
交叉项：$Y^{(j)} Y^{(k)} (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})(B_{t_{k+1}} - B_{t_k})$（$j \neq k$）
取期望时，交叉项为零。为什么？不妨设 $j < k$。那么 $Y^{(j)}, Y^{(k)}, (B_{t_{j+1}} - B_{t_j})$ 都在 $\mathcal{F}_{t_k}$ 中已知，而 $(B_{t_{k+1}} - B_{t_k})$ 独立于 $\mathcal{F}_{t_k}$ 且均值为零。所以整个交叉项的期望为零。
对角项：
$$E[(Y^{(k)})^2 (B_{t_{k+1}} - B_{t_k})^2] = E[(Y^{(k)})^2] \cdot E[(B_{t_{k+1}} - B_{t_k})^2] = E[(Y^{(k)})^2] \cdot \Delta t$$（$Y^{(k)}$ 和 $B_{t_{k+1}} - B_{t_k}$ 独立，增量的方差是 $\Delta t$）
求和：
$$\sum_{k=0}^{m-1} E[(Y^{(k)})^2] \cdot \Delta t \to \int_0^T E[Y_t^2] , dt$$这就是 Isometry。
与离散情况的类比： 在离散时间，如果 $(X_n)$ 是 SRW，$(Y_k)$ 是 adapted，$M_n = \sum_{k=0}^{n-1} Y_k (X_{k+1} - X_k)$ 是 martingale，且 $E[M_n^2] = \sum_{k=0}^{n-1} E[Y_k^2]$（因为 $(X_{k+1} - X_k)^2 = 1$）。Itô Isometry 就是这个性质的连续时间版本。
5. Itô Integral 的线性性
$$\int_0^t (aY_s^{(1)} + bY_s^{(2)}) , dB_s = a\int_0^t Y_s^{(1)} , dB_s + b\int_0^t Y_s^{(2)} , dB_s$$这和普通积分一样，没有什么意外。
6. Itô vs Stratonovich
课上提到如果选中点 $\xi_i = \frac{t_i + t_{i+1}}{2}$，得到的是 Stratonovich integral，记作 $\int_0^T f'(B_t) \circ dB_t$。
Stratonovich integral 满足普通的链式法则：
$$\int_0^T f'(B_t) \circ dB_t = f(B_T) - f(B_0)$$这看起来更"自然"，但代价是失去 martingale 性质。
在这门课中我们只用 Itô integral。Stratonovich 只需要知道它的存在和区别即可。
对比：
| Itô | Stratonovich | |
|---|---|---|
| 选点 | 左端点 | 中点 |
| Martingale | 是 | 不是 |
| 链式法则 | 需要修正项 $\frac{1}{2}f''$ | 普通链式法则 |
| 本课使用 | 是 | 不使用 |
7. 与离散 Martingale Transform 的类比
把整个 Itô integral 的构造和离散情况放在一起看：
离散： $(X_n)$ 是 martingale，$(Y_n)$ 是 adapted（betting strategy），定义：
$$M_n = \sum_{k=0}^{n-1} Y_k (X_{k+1} - X_k)$$$(M_n)$ 是 martingale。$E[M_n^2] = \sum_{k=0}^{n-1} E[Y_k^2 (X_{k+1} - X_k)^2]$。
连续： $(B_t)$ 是 BM（连续时间 martingale），$(Y_t)$ 是 adapted，定义：
$$M_t = \int_0^t Y_s , dB_s$$$(M_t)$ 是 martingale。$E[M_t^2] = \int_0^t E[Y_s^2] , ds$。
结构完全平行。Itô integral 就是"连续时间的 martingale transform"。
8. Phase 7 小结
| 概念 | 要点 |
|---|---|
| 为什么需要新积分 | BM 不可微，选不同点得不同结果 |
| 根本原因 | $(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2 \approx \Delta t$（二次项不消失） |
| Itô 的选择 | 左端点，保持 martingale 性质 |
| 构造方法 | piecewise constant → $L^2$ 极限 |
| Martingale 性质 | $\int_0^t Y_s , dB_s$ 是 MG，$E[\int Y , dB] = 0$ |
| Isometry | $E[(\int Y , dB)^2] = \int E[Y^2] , dt$ |
| vs Stratonovich | 中点选择，普通链式法则，但丢失 MG 性质 |