Phase 6

Phase 6 — Brownian Motion 基础

1. 从 SRW 到 Brownian Motion

Brownian Motion 不是凭空定义的。它是 Symmetric Random Walk 在"时间和空间同时缩放"下的极限。

设 $X_n$ 是 SRW：$X_n = \sum_{i=1}^n \varepsilon_i$，$\varepsilon_i = \pm 1$ w.p. $1/2$。

固定一个时间 $t > 0$，考虑 $\frac{1}{\sqrt{n}} X_{\lfloor nt \rfloor}$。这是"走了 $\lfloor nt \rfloor$ 步之后的位置，除以 $\sqrt{n}$"。

由 Central Limit Theorem：

$$\frac{1}{\sqrt{n}} X_{\lfloor nt \rfloor} = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{\lfloor nt \rfloor} \varepsilon_i \xrightarrow{d} N(0, t)$$

（$\lfloor nt \rfloor$ 个均值 0、方差 1 的 i.i.d. 求和，除以 $\sqrt{n}$，方差是 $\lfloor nt \rfloor / n \to t$）

更一般地，对多个时间点 $0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_k$，增量

$$\frac{1}{\sqrt{n}}(X_{\lfloor nt_1 \rfloor}),\quad \frac{1}{\sqrt{n}}(X_{\lfloor nt_2 \rfloor} - X_{\lfloor nt_1 \rfloor}),\quad \ldots$$

是独立的（因为它们是不重叠区间上的 $\varepsilon_i$ 的和），每个都趋向于正态分布。

Brownian Motion 就是这个极限对象——“连续时间、连续空间的 SRW”。

2. Brownian Motion 的定义

$(B_t)_{t \geq 0}$ 是 Brownian Motion（也叫 Wiener Process），如果满足以下四个条件：

条件 1： $B_0 = 0$

条件 2： 对任意 $0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_k$，增量

$$B_{t_1},\quad B_{t_2} - B_{t_1},\quad B_{t_3} - B_{t_2},\quad \ldots,\quad B_{t_k} - B_{t_{k-1}}$$

是互相独立的。

条件 3： 对任意 $s < t$，$B_t - B_s \sim N(0, t - s)$。

增量的分布只取决于时间差 $t - s$，不取决于起点 $s$。方差等于时间长度。

条件 4： $t \mapsto B_t$ 是连续函数（a.s.）。

路径是连续的——没有跳跃。

从条件 2 和 3 可以推出： $(B_{t_1}, B_{t_2}, \ldots, B_{t_k})$ 是 multivariate normal（多元正态）。满足这个性质的过程叫做 Gaussian Process。

3. BM 的基本性质

性质 A：BM 是 Markov Process

$$\text{给定 } B_t \text{ 的值，}(B_r)_{r > t} \text{ 的条件分布不依赖于 } (B_r)_{r \leq t} \text{ 中 } B_t \text{ 以外的信息}$$

为什么？因为 $B_r - B_t$（$r > t$）独立于 $(B_s)_{s \leq t}$（由条件 2）。所以未来增量完全不受过去影响，只需要知道当前位置 $B_t$。

这和离散时间的 Markov property 完全类比。

性质 B：BM 有 Strong Markov Property

如果 $T$ 是 stopping time，那么给定 $T < \infty$ 和 $B_T$ 的值，过程 $(B_{T+s} - B_T)_{s \geq 0}$ 是一个全新的 BM，独立于 $T$ 时刻之前的信息。

这和离散 MC 的 Strong Markov Property 完全类比。后面 Reflection Principle 的证明会用到这个。

性质 C：BM 处处连续但处处不可微

路径是连续的（条件 4），但：

$$\frac{B_{t+\Delta t} - B_t}{\Delta t} \sim N\left(0, \frac{1}{\Delta t}\right)$$

当 $\Delta t \to 0$ 时，这个"导数"的方差趋向无穷。所以 $B_t$ 在任何点都没有导数（a.s.）。

这就是为什么后面需要 Itô calculus——普通微积分依赖可微性，BM 没有这个性质。

4. BM 作为 Martingale

$(B_t)_{t \geq 0}$ 是 martingale。

验证：对 $s < t$，

$$E[B_t | \mathcal{F}_s] = E[B_t - B_s + B_s | \mathcal{F}_s]$$

$B_s$ 在 $\mathcal{F}_s$ 中已知，提出来：

$$= B_s + E[B_t - B_s | \mathcal{F}_s]$$

$B_t - B_s$ 独立于 $\mathcal{F}_s$（独立增量性质），所以条件期望等于无条件期望：

$$= B_s + E[B_t - B_s] = B_s + 0 = B_s \quad \checkmark$$

$(B_t^2 - t)_{t \geq 0}$ 也是 martingale。

这和离散情况下 $X_n^2 - n$ 是 martingale 完全对应。验证：

$$E[B_t^2 - t | \mathcal{F}_s] = E[(B_s + (B_t - B_s))^2 - t | \mathcal{F}_s]$$

展开平方：$(B_s + (B_t - B_s))^2 = B_s^2 + 2B_s(B_t - B_s) + (B_t - B_s)^2$

逐项取条件期望：

$E[B_s^2 | \mathcal{F}_s] = B_s^2$（已知）
$E[2B_s(B_t - B_s) | \mathcal{F}_s] = 2B_s \cdot E[B_t - B_s] = 2B_s \cdot 0 = 0$（$B_s$ 提出来，增量独立且均值零）
$E[(B_t - B_s)^2 | \mathcal{F}_s] = E[(B_t - B_s)^2] = t - s$（增量独立，方差 $= t - s$）

合起来：

$$= B_s^2 + 0 + (t - s) - t = B_s^2 - s \quad \checkmark$$

5. Continuous-Time Stopping Time 和 OST

Stopping Time 的连续时间定义

离散时间：${T = n} \in \mathcal{F}_n$。

连续时间的类比：随机时间 $T$ 是 stopping time，如果对所有 $t \geq 0$：

$${T \leq t} \in \mathcal{F}_t$$

注意这里用的是 ${T \leq t}$ 而不是 ${T = t}$。在连续时间中，$P(T = t) = 0$ 对大多数 $t$ 成立（因为 $T$ 通常是连续分布的），所以用 ${T = t}$ 不方便。${T \leq t}$ 问的是"到时间 $t$ 为止，$T$ 是否已经发生了"——这和离散情况的精神是一样的。

离散 stopping time 的所有性质都自然延伸：min、max 保持 stopping time，hitting time 是 stopping time，等等。

Continuous-Time OST

定理： 设 $(X_t)_{t \geq 0}$ 是连续时间 martingale（连续路径），$T$ 是 stopping time，$P(T < \infty) = 1$。如果：

(i) $E[|X_T|] < \infty$

(ii) $\lim_{t \to \infty} E[|X_t| \cdot \mathbf{1}(T > t)] = 0$

那么 $E[X_T] = E[X_0]$。

形式和离散版本完全一样，只是把 $n$ 换成 $t$。同样地，如果过程在 $T$ 之前有界，或者过程是 UI，OST 也成立。

6. 应用：Continuous-Time Gambler’s Ruin

问题： $(B_t)_{t \geq 0}$ 是 BM。$a, b > 0$。$T = \inf{t \geq 0 : B_t = -a \text{ or } B_t = b}$。求 $P(B_T = b)$ 和 $E[T]$。

Part 1：求 $P(B_T = b)$

用 $B_t$ 这个 martingale。

在 $T$ 之前，$-a \leq B_t \leq b$（还没 exit），所以 $|B_t| \leq \max(a, b)$，有界。OST 适用。

$$E[B_T] = E[B_0] = 0$$

$B_T$ 只能取 $b$ 或 $-a$：

$$b \cdot P(B_T = b) + (-a) \cdot P(B_T = -a) = 0$$

又 $P(B_T = b) + P(B_T = -a) = 1$，设 $p = P(B_T = b)$：

$$bp - a(1 - p) = 0$$

$$bp - a + ap = 0$$

$$p(a + b) = a$$

$$p = \frac{a}{a + b}$$

Part 2：求 $E[T]$

用 $M_t = B_t^2 - t$ 这个 martingale。

需要验证 OST 条件。这比 Part 1 更微妙，因为 $M_t$ 在 $T$ 之前不是有界的（$B_t^2$ 有界，但 $-t$ 可以任意负）。

课上的处理方式：先证 $E[T] < \infty$。

怎么证？考虑一个固定的时间 $T_0$。从 $(-a, b)$ 区间的任意起点出发，BM 在时间 $T_0$ 内到达 $-a$ 或 $b$ 的概率有一个正的下界 $\eta > 0$（这是因为 $B_{T_0} \sim N(B_0, T_0)$，正态分布的尾概率始终为正）。

所以每过 $T_0$ 时间，有至少 $\eta$ 的概率停下来。这意味着：

$$P(T > kT_0) \leq (1 - \eta)^k$$

所以 $T$ 有指数衰减的尾概率，$E[T] < \infty$。

有了 $E[T] < \infty$，可以证明 $E[|M_t| \cdot \mathbf{1}(T > t)] \to 0$（因为 $|M_t| \leq \max(a,b)^2 + t$，而 $P(T > t)$ 指数衰减），OST 条件满足。

应用 OST：

$$E[M_T] = E[M_0] = B_0^2 - 0 = 0$$$$E[B_T^2 - T] = 0$$$$E[B_T^2] = E[T]$$

计算 $E[B_T^2]$：

$$E[B_T^2] = b^2 \cdot P(B_T = b) + (-a)^2 \cdot P(B_T = -a)$$$$= b^2 \cdot \frac{a}{a+b} + a^2 \cdot \frac{b}{a+b}$$$$= \frac{ab^2 + a^2 b}{a+b} = \frac{ab(a+b)}{a+b} = ab$$

所以 $E[T] = ab$。

注意这里用了两个不同的 martingale 解同一个问题的两个不同方面： $B_t$ 求 hitting probability，$B_t^2 - t$ 求 expected hitting time。这和离散 Gambler’s Ruin 中用 $X_n$ 和 $X_n^2 - n$ 的思路完全一样。

7. Reflection Principle

这是 Lecture 8 中一个重要的新技巧，离散时间没有直接对应物。

问题： $T_a = \inf{t > 0 : B_t \geq a}$（首次到达 $a$ 的时间），$a > 0$。求 $P(T_a \leq t)$。

关键观察：

$$P(T_a \leq t) = P\left(\max_{0 \leq s \leq t} B_s \geq a\right)$$

这是因为"在时间 $t$ 之前到达过 $a$“等价于"路径的最大值 $\geq a$"。

推导： 把事件 ${B_t \geq a}$ 按 $T_a$ 是否 $\leq t$ 来分：

$$P(B_t \geq a) = P(T_a \leq t) \cdot P(B_t \geq a ,|, T_a \leq t)$$

（如果 $T_a > t$，即在时间 $t$ 之前从未到过 $a$，那 $B_t \geq a$ 不可能发生。因为 BM 路径连续，不到 $a$ 就不可能超过 $a$。所以 $P(B_t \geq a, T_a > t) = 0$。）

现在算 $P(B_t \geq a ,|, T_a \leq t)$。

给定 $T_a \leq t$，BM 在时间 $T_a$ 时到达了 $a$。由 Strong Markov Property，$(B_{T_a + s} - B_{T_a})_{s \geq 0}$ 是一个全新的 BM，独立于 $T_a$ 之前的信息。

所以：

$$P(B_t \geq a ,|, T_a \leq t) = P(B_t - B_{T_a} \geq 0 ,|, T_a \leq t)$$

$B_t - B_{T_a}$ 是新 BM 在时间 $t - T_a$ 的值，分布是 $N(0, t - T_a)$。正态分布关于 0 对称，所以：

$$P(B_t - B_{T_a} \geq 0 ,|, T_a \leq t) = \frac{1}{2}$$

代回去：

$$P(B_t \geq a) = P(T_a \leq t) \cdot \frac{1}{2}$$

所以：

$$P(T_a \leq t) = 2 \cdot P(B_t \geq a) = 2\Phi\left(-\frac{a}{\sqrt{t}}\right)$$

（其中 $\Phi$ 是标准正态 CDF，$P(B_t \geq a) = P\left(\frac{B_t}{\sqrt{t}} \geq \frac{a}{\sqrt{t}}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right) = \Phi\left(-\frac{a}{\sqrt{t}}\right)$）

Reflection Principle 的一个推论

$$P\left(\max_{0 \leq s \leq t} B_s \geq a\right) = P(T_a \leq t) = 2P(B_t \geq a) = P(|B_t| \geq a)$$

所以 $\max_{0 \leq s \leq t} B_s$ 和 $|B_t|$ 有相同的分布。

这个结论很漂亮：BM 路径在 $[0, t]$ 上的最大值的分布，完全由终点 $B_t$ 的绝对值决定。

8. Phase 6 小结

概念	要点
BM 定义	$B_0=0$、独立增量、$B_t - B_s \sim N(0, t-s)$、连续路径
BM 作为 MG	$B_t$ 是 MG，$B_t^2 - t$ 也是 MG
Continuous-time OST	形式和离散版本相同，条件相同
Gambler’s Ruin	$B_t$ → hitting prob $= a/(a+b)$；$B_t^2 - t$ → $E[T] = ab$
Reflection Principle	$P(T_a \leq t) = 2P(B_t \geq a)$，$\max B_s \sim$
处处不可微	导数的方差 $\to \infty$ → 需要新的 calculus

Phase 6 — Brownian Motion 基础#

1. 从 SRW 到 Brownian Motion#

2. Brownian Motion 的定义#

3. BM 的基本性质#

性质 A：BM 是 Markov Process#

性质 B：BM 有 Strong Markov Property#

性质 C：BM 处处连续但处处不可微#

4. BM 作为 Martingale#

5. Continuous-Time Stopping Time 和 OST#

Stopping Time 的连续时间定义#

Continuous-Time OST#

6. 应用：Continuous-Time Gambler’s Ruin#

Part 1：求 $P(B_T = b)$#

Part 2：求 $E[T]$#

7. Reflection Principle#

Reflection Principle 的一个推论#

8. Phase 6 小结#